Как составить систему уравнений

Содержание:

1. Основные принципы составления систем уравнений
2. Определение неизвестных величин
3. Пример составления системы уравнений
4. Связывание неизвестных величин уравнениями
5. Дополнительные уравнения
6. Количество уравнений и неизвестных
7. Физические задачи и формулы
8. Необходимость дополнительной информации в системе
9. Проверка решения

Основные принципы составления систем уравнений

Уравнением называют аналитическую запись задачи о разыскании значений аргументов, при которых значения двух данных функций равны. Система – это совокупность уравнений, для которых требуется найти значения неизвестных, удовлетворяющих одновременно всем этим уравнениям. Необходимо знать основные принципы составления подобных систем, так как успешное решение задачи невозможно без правильно составленной системы уравнений.

Определение неизвестных величин

Во-первых, необходимо определить неизвестные величины, которые требуется найти в данной задаче. Обозначьте их через переменные. Наиболее распространенные переменные, используемые при решении систем уравнений, это x, y и z. В отдельных задачах удобнее применять общепринятые обозначения, например, V для обозначения объема, или a для обозначения ускорения.

Пример составления системы уравнений

Рассмотрим пример. Пусть гипотенуза прямоугольного треугольника равна 5 м. Необходимо определить катеты, если известно, что после того, как один из них увеличить в 3 раза, а другой в 4, то сумма их длин составит 29 м. Для данной задачи необходимо обозначить длины катетов через переменные x и y.

Связывание неизвестных величин уравнениями

Далее внимательно читайте условие задачи и связывайте неизвестные величины уравнениями. Иногда взаимосвязь между переменными будет очевидна. Например, в приведенном выше примере, катеты связывает следующее соотношение: если "один из них увеличить в 3 раза" (3 * x), "а другой в 4" (4 * y), "то сумма их длин составит 29 м": 3 * x + 4 * y = 29.

Дополнительные уравнения

Другое уравнение для данной задачи менее очевидно. Оно кроется в условии задаче о том, что дан прямоугольный треугольник. Значит, можно применить теорему Пифагора. Т.е. x^2 + y^2 = 25. Итого получается два уравнения: 3 * x + 4 * y = 29 и x^2 + y^2 = 25.

Количество уравнений и неизвестных

Для того чтобы система имела однозначное решение, количество уравнений должно быть равно количеству неизвестных. В приведенном примере имеется две переменных и два уравнения. Значит, система имеет одно конкретное решение: x = 3 м, y = 4 м.

Физические задачи и формулы

При решении физических задач "неочевидные" уравнения могут заключаться в формулах, связывающих физические величины. Например, пусть в условии задачи необходимо найти скорости пешеходов Va и Vb. Известно, что пешеход A проходит расстояние S на 3 часа медленнее, чем пешеход B. Тогда можно составить уравнение, воспользовавшись формулой S = V * t, где S – это расстояние, V – скорость, t – время: S / Va = S / Vb + 3.

Необходимость дополнительной информации в системе

Все уравнения в системе должны поставлять дополнительную независимую от других уравнений информацию. Иначе система будет недоопределена и однозначного решения найти будет невозможно.

Проверка решения

После решения системы уравнений подставьте найденные значения в исходную систему и проверьте, что они удовлетворяют всем уравнениям.