Эврика!

Регистрация

Как составить уравнение окружности

Окружность — совокупность точек, лежащих на расстоянии R от заданной точки (центра окружности). Уравнением окружности в декартовых координатах называется такое уравнение, что для любой точки, лежащей на окружности, ее координаты (x, y) удовлетворяют этому уравнению, а для любой точки, не лежащей на окружности — не удовлетворяют.Как составить уравнение окружности

Предположим, что ваша задача — составить уравнение окружности заданного радиуса R, центр которой находится в начале координат. Окружность, по определению — множество точек, находящихся на заданном расстоянии от центра. Это расстояние как раз и равно радиусу R.

Расстояние от точки (x, y) до центра координат равно длине отрезка, соединяющего ее с точкой (0, 0). Этот отрезок вместе с его проекциями на координатные оси составляют прямоугольный треугольник, катеты которого равны x0 и y0, а гипотенуза, по теореме Пифагора, равна √(x^2 + y^2).

Чтобы получить окружность, вам нужно уравнение, определяющее все точки, для которых это расстояние будет равно R. Таким образом:√(x^2 + y^2) = R, а следовательно,
x^2 + y^2 = R^2.

Аналогичным способом составляется уравнение окружности радиусом R, центр которой находится в точке (x0, y0). Расстояние от произвольной точки (x, y) до заданной точки (x0, y0) равно √((x - x0)^2 + (y - y0)^2). Следовательно, уравнение нужной вам окружности будет выглядеть так:(x - x0)^2 + (y - y0)^2 = R^2.

Вам может понадобиться также составить уравнение окружности с центром в точке координат, проходящей через заданную точку (x0, y0). В этом случае радиус искомой окружности не задан в явном виде, и его придется вычислять. Очевидно, он будет равен расстоянию от точки (x0, y0) до начала координат, то есть √(x0^2 + y0^2). Подставляя это значение в уже выведенное уравнение окружности, вы получите:x^2 + y^2 = x0^2 + y0^2.

Если вам предстоит построить окружность по выведенным формулам, то их придется разрешать относительно y. Даже самое простое из этих уравнений при этом превращается в:y = ±√(R^2 - x^2).Знак ± необходим здесь потому, что квадратный корень числа всегда неотрицателен, а это значит, что без знака ± такое уравнение описывает только верхнюю полуокружность.Чтобы построить окружность, удобнее составить ее параметрическое уравнение, в котором обе координаты x и y зависят от параметра t.

Согласно определению тригонометрических функций, если гипотенуза прямоугольного треугольника равна 1, а один из углов при гипотенузе равен φ, то прилежащий к нему катет равен cos(φ), а противолежащий — sin(φ). Таким образом, sin(φ)^2 + cos(φ)^2 = 1 для любого φ.

Предположим, вам дана окружность единичного радиуса с центром в начале координат. Возьмем любую точку (x, y) на этой окружности и проведем от нее отрезок к центру. Этот отрезок образует угол с положительной полуосью x, который может быть равен от 0 до 360° или от 0 до 2π радиан. Обозначая этот угол t, вы получите зависимость:x = cos(t),
y = sin(t).

Эту формулу можно обобщить на случай окружности радиуса R с центром в произвольной точке (x0, y0):x = R*cos(t) + x0,
y = R*sin(t) + y0.

© CompleteRepair.Ru