Эврика!

Регистрация

Как составить уравнение плоскости через точку и прямую

Любая плоскость может быть задана линейным уравнением Ax+By+Cz+D=0. Обратно, каждое такое уравнение определяет плоскость. Чтобы составить уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую, надо знать координаты точки и уравнение прямой.Как составить уравнение плоскости через точку и прямуюВам понадобится

Уравнение прямой, проходящей через две точки с координатами (x1,y1,z1) и (x2,y2,z2), имеет вид: (x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1)=(z-z1)/(z2-z1). Соответственно, из уравнения (x-x0)/A=(y-y0)/B=(z-z0)/C легко можно выделить координаты двух точек.

Из трех точек плоскости можно составить уравнение, однозначно задающее плоскость. Пусть имеются три точки с координатами (x1,y1,z1), (x2,y2,z2), (x3,y3,z3). Запишите детерминант:(x-x1) (y-y1) (z-z1)(x2-x1) (y2-y1) (z2-z1)(x3-x1) (y3-y1) (z3-z1)Приравняйте определитель нулю. Это и будет уравнение плоскости. Его можно оставить и в таком виде, а можно расписать, раскрыв детерминант:(x-x1)(y2-y1)(z3-z1)+(x3-x1)(y-y1)(z2-z1)+(z-z1)(x2-x1)(y3-y1)-(z-z1)(y2-y1)(x3-x1)-(z3-z1)(y-y1)(x2-x1)-(x-x1)(z2-z1)(y3-y1). Работа кропотливая и, как правило, излишняя, ведь проще вспомнить о свойствах определителя, равного нулю.

Пример. Составьте уравнение плоскости, если известно, что она проходит через точку M(2,3,4) и прямую (x-1)/3=y/5=(z-2)/4.Решение. Вначале надо преобразовать уравнение прямой.(x-1)/(4-1)=(y-0)/(5-0)=(z-2)/(6-2). Отсюда легко выделить две точки, явно принадлежащие данной прямой. Это (1,0,2) и (4,5,6). Всё, три точки есть, можно составлять уравнение плоскости.(x-1) (y-0) (z-2)(4-1) (5-0) (6-2)(2-1) (3-0) (4-2)Детерминант осталось приравнять нулю и упростить.

Итого:(x-1) y(z-2)354132 =(x-1)·5·2+1·y·4+(z-2)·3·3-(z-2)·5·1-(x-1)·4·3-2·y·3=10x-10+4y+9z-18-5z+10-12x+12-6y=-2x-2y+4z-6=0.Ответ. Искомое уравнение плоскости -2x-2y+4z-6=0.

© CompleteRepair.Ru