Как возвести матрицу в квадрат
- Матрица: определение и арифметические операции
- Возведение матрицы в квадрат
- Пример возведения матрицы в квадрат
- Вычисление элементов результирующей матрицы
- Возведение матрицы в степень больше 2
Матрица: определение и арифметические операции
Матрица представляет собой двумерный массив чисел. С помощью таких массивов можно выполнять обычные арифметические операции, такие как сложение, умножение и возведение в степень. Однако операции с матрицами имеют свои особенности по сравнению с операциями над обычными числами.
Возведение матрицы в квадрат
Для возведения матрицы в квадрат необходимо умножить ее на саму себя. Это означает, что каждый элемент результирующей матрицы будет являться суммой произведений соответствующих элементов первого множителя на соответствующие элементы второго множителя.
Пример возведения матрицы в квадрат
Допустим, нам требуется возвести в квадрат матрицу, представленную на рисунке. Поскольку данная матрица является квадратной (ее размеры 3 на 3), мы можем выполнить это действие.
Вычисление элементов результирующей матрицы
Для вычисления элементов результирующей матрицы мы умножаем каждый элемент исходной матрицы на соответствующий элемент этой же матрицы и складываем полученные произведения.
Проиллюстрируем это на примере. Пусть элементы исходной матрицы обозначаются как a[i,j], а элементы результирующей матрицы - как b[i,j].
b[1,1] = a[1,1]*a[1,1] + a[1,2]*a[2,1] + a[1,3]*a[3,1] = 1*1 + 2*2 + (-1)*2 = 3
b[1,2] = a[1,1]*a[1,2] + a[1,2]*a[2,2] + a[1,3]*a[3,2] = 1*2 + 2*(-1) + (-1)*1 = -1
b[1,3] = a[1,1]*a[1,3] + a[1,2]*a[2,3] + a[1,3]*a[3,3] = 1*(-1) + 2*1 + (-1)*(-1) = 2
b[2,1] = a[2,1]*a[1,1] + a[2,2]*a[2,1] + a[2,3]*a[3,1] = 2*1 + (-1)*2 + 1*2 = 2
b[2,2] = a[2,1]*a[1,2] + a[2,2]*a[2,2] + a[2,3]*a[3,2] = 2*2 + (-1)*(-1) + 1*1 = 6
b[2,3] = a[2,1]*a[1,3] + a[2,2]*a[2,3] + a[2,3]*a[3,3] = 2*(-1) + (-1)*1 + 1*(-1) = -4
b[3,1] = a[3,1]*a[1,1] + a[3,2]*a[2,1] + a[3,3]*a[3,1] = 2*1 + 1*2 + (-1)*2 = 2
b[3,2] = a[3,1]*a[1,2] + a[3,2]*a[2,2] + a[3,3]*a[3,2] = 2*2 + 1*(-1) + (-1)*1 = 2
b[3,3] = a[3,1]*a[1,3] + a[3,2]*a[2,3] + a[3,3]*a[3,3] = 2*(-1) + 1*1 + (-1)*(-1) = 0
Возведение матрицы в степень больше 2
Для возведения матрицы в степень больше 2 необходимо последовательно умножать матрицу на саму себя. То есть, A³ = A²*A и так далее. Это позволяет нам получить результат возведения матрицы в любую положительную степень.
