Главная Войти О сайте

Как вычислить частную производную

Как вычислить частную производную

Содержание:
  1. Частные производные и полный дифференциал функции
  2. Нахождение полного дифференциала функции
  3. Принципы определения производной
  4. Пример нахождения частных производных
  5. Использование частных производных
  6. Нахождение частных производных более высоких порядков
  7. Заключение

Частные производные и полный дифференциал функции

Частные производные являются основными составляющими полного дифференциала функции. Каждый аргумент рассматривается отдельно, с предположением, что остальные аргументы являются константами.

Нахождение полного дифференциала функции

Для нахождения полного дифференциала функции с несколькими переменными необходимо вычислить частные производные по каждой из них. Методы решения аналогичны нахождению производной функции одного аргумента, за исключением того, что в качестве постоянных слагаемых или множителей могут выступать другие переменные.

Принципы определения производной

Принципы определения производной базируются на дифференцировании простейших и тригонометрических функций. Например, производная функции с переменной в степени определяется по формуле Лейбница.

Пример нахождения частных производных

Рассмотрим пример функции f = 2•х•у² + 5•y•z^5 + 3•x²•√z. Чтобы найти частную производную по х, каждое из слагаемых представим в виде функции от х. В данном случае элементы 2•у², 5•y•z^5 и 3•√z будут постоянными величинами.

При определении частной производной по y примем за постоянные выражения 2•x, 5•z^5 и 3•x²•√z. Частная производная по аргументу z предполагает объявление константами множители 5•y, 3•x² и слагаемое 2•x•y².

Использование частных производных

Частные производные широко используются при решении дифференциальных уравнений. Запись ∂f/∂x воспринимается как единое обозначение и не является отношением приращения функции и аргумента. Результаты примера можно записать в виде полного дифференциала функции.

Нахождение частных производных более высоких порядков

Для нахождения частных производных более высоких порядков необходимо продифференцировать функцию соответствующее количество раз. Например, полный дифференциал второго порядка будет содержать в себе дифференциалы второго порядка по каждому аргументу.

Заключение

Частные производные являются важным инструментом в математическом анализе. Они позволяют находить полный дифференциал функции и использовать его при решении дифференциальных уравнений. При изучении функций с несколькими переменными, знание частных производных становится необходимым.


CompleteRepair.Ru