Как вычислить длину диагонали

Содержание:

1. Вычисление диагоналей различных фигур
2. Прямоугольные четырехугольники
3. Вычисление диагонали квадрата
4. Вычисление диагонали равностороннего многоугольника
5. Вычисление диагонали куба
6. Диагональ куба можно найти через диагональ одной из его граней.
7. Вычисление диагоналей параллелограмма

Вычисление диагоналей различных фигур

Диагональ – это отрезок, соединяющий две вершины фигуры, не лежащие на одной стороне. Для вычисления ее длины чаще всего используются теорема Пифагора или теорема косинусов.

Прямоугольные четырехугольники

Прямоугольные четырехугольники, такие как прямоугольник или квадрат, диагональ делит на два прямоугольных треугольника, в каждом из которых она будет гипотенузой. Следовательно, для ее вычисления возможно применение теоремы Пифагора. Формула для вычисления диагонали прямоугольного треугольника: a²=b²+c², где a - гипотенуза, b и с - катеты.

Пример 1: найдите диагональ AC прямоугольника, если известно, что длина BC=3 см, AB=5 см.
Решение: вычислите гипотенузу AC в прямоугольном треугольнике ABC. AC²=AB²+BC²; AC²=5²+3²=34; из полученного значения извлеките квадратный корень: AC=√34=5,8 см.
Ответ: диагональ прямоугольника равна 5,8 см.

Вычисление диагонали квадрата

Если перед вами квадрат, то вычислить диагональ можно, зная одну из его сторон или площадь. Т.к. все стороны квадрата равны, то теорема Пифагора для него будет иметь вид: a²=b²+b², a²=2b². Площадь - произведение двух сторон (S=b²). Значит, квадрат гипотенузы (в фигуре квадрат) равен его удвоенной площади (a²=2S).

Пример 2: площадь квадрата 16 см². Найдите длину диагонали.
Решение: вычислите длину диагонали а через площадь. a²=2S, a²=2*16 см²=32; извлеките корень квадратный: a=√32≈5,7 см.
Ответ: длина диагонали квадрата – 5,7 см.

Вычисление диагонали равностороннего многоугольника

В некоторых случаях для вычисления диагонали необходимо делать дополнительные построения.

Пример 3: равносторонний многоугольник со стороной, равной 6 см, угол BCD прямой. Найдите длину диагонали AB.
Решение: соедините точки B и D. Получился прямоугольный треугольник BCD, в котором сторона BD является гипотенузой. Вычислите гипотенузу BD: BD²=BC+CD²; BD²=6²+6²=72; Гипотенуза BD из треугольника BCD является катетом в треугольнике ABD. А диагональ AB - гипотенуза в нем. Вычислите диагональ AB: AB²=BD²+AD²=72+36=108; AB=√108=10,4 см.
Ответ: длина диагонали AB=10,4 см.

Вычисление диагонали куба

Диагональ куба можно найти через диагональ одной из его граней.

Пример 4: куб со стороной 5 см. Найдите диагональ куба.
Решение: достройте и вычислите диагональ грани куба. AC²=5²+5²=50. Диагональ AC перпендикулярна ребру CB, следовательно, угол ACB – прямой. Диагональ куба AB – гипотенуза в треугольнике ACB. Найдите длину диагонали куба: AB²=AC²+CB²=50+25=75; извлеките квадратный корень. AB=√75=8,7 см.
Ответ: длина диагонали куба – 8,7 см.

Вычисление диагоналей параллелограмма

Для вычисления диагоналей параллелограмма используют теорему косинусов: c²=a²+b²-2ab*cosγ.

Пример 5: a = 2 см, b = 3 см, γ = 120°. Найдите диагональ с.
Решение: подставьте значения в формулу. c²= 2²+3²-2*2*3*cos120°; cos120° найдите по таблице косинусов (-0,5). с² = 4+9-12*(-0,5)=13-(-6)=19. Из этого значения извлеките корень: с = √19 = 4,35 см.
Ответ: длина диагонали с = 4,35 см.