Как вычислить длину кривой
- Вычисление длины дуги кривой
- Первый случай: плоская кривая
- Второй случай: параметрически заданная дуга UАВ
- Третий случай: дуга UАВ задана в полярных координатах
- Четвертый случай: пространственная кривая
Вычисление длины дуги кривой
При вычислении любой длины следует помнить, что это величина конечная, то есть просто число. Если имеется в виду длина дуги кривой, то такая задача решается с помощью определенного интеграла (в плоском случае) или криволинейного интеграла первого рода (по длине дуги). Дуга АВ будет обозначаться UАВ.
Первый случай: плоская кривая
Пусть UАВ задана плоской кривой y = f(x). Аргумент функции изменятся в пределах от а до b и она непрерывно дифференцируема на этом отрезке. Найдем длину L дуги UАВ. Для решения этой задачи разобьем рассматриваемый отрезок на элементарные отрезки ∆xi, i=1,2,…,n. В результате UАВ разобьется на элементарные дуги ∆Ui, участков графика функции y=f(x) на каждом из элементарных отрезков. Найдем длину ∆Li элементарной дуги приближенно, заменив ее соответствующей хордой. При этом можно приращения заменить дифференциалами и использовать теорему Пифагора. После вынесения из квадратного корня дифференциала dx получим результат, приведенный на рисунке 1b.
Второй случай: параметрически заданная дуга UАВ
Дуга UАВ задана параметрически: x=x(t), y=y(t), tє[α,β]. Функции x(t) и y(t) имеют непрерывные производные на этом отрезке. Найдем их дифференциалы: dx=f’(t)dt, dy=f’(t)dt. Подставим эти дифференциалы в формулу для вычисления длины дуги в первом случае. Вынесем dt из-под знака корня под интегралом, положим х(α)=а, x(β)=b и придем к формуле для вычисления длины дуги в данном случае (см. рис. 2а).
Третий случай: дуга UАВ задана в полярных координатах
Дуга UАВ графика функции задана в полярных координатах ρ=ρ(φ). Полярный угол φ при прохождении дуги изменяется от α до β. Функция ρ(φ) имеет непрерывную производную на отрезке ее рассмотрения. В такой ситуации проще всего использовать данные, полученные на предыдущем шаге. Выберем φ в качестве параметра и подставим в уравнения связи полярных и декартовых координат x=ρcosφ, y=ρsinφ. Продифференцируем эти формулы и подставим квадраты производных в выражение на рис. 2а. После небольших тождественных преобразований, основанных в основном, на применении тригонометрического тождества (cosφ)^2+(sinφ)^2=1, получим формулу для вычисления длины дуги в полярных координатах (см. рис.2b).
Четвертый случай: пространственная кривая
Дуга UАВ задана параметрически: x=x(t), y=y(t), z=z(t), tє[α,β]. Строго говоря, здесь следует применить криволинейный интеграл первого рода (по длине дуги). Криволинейные интегралы вычисляются переводом их в обычные определенные интегралы. В результате ответ останется практически таким же, как и в случае два, с тем лишь отличием, что под корнем появится добавочное слагаемое – квадрат производной z’(t) (см рис. 2с).