Как вычислить неопределенный интеграл

Содержание:

1. Интегрирование: сложный процесс и творческое решение задач
2. Четкое понимание интегрирования
3. Свойства интегралов
4. Сложные интегралы и методы их решения
5. Интегрирование путем подведения под знак дифференциала
6. Интегрирование по частям
7. Замена переменной

Интегрирование: сложный процесс и творческое решение задач

Интегрирование является значительно более сложным процессом, чем дифференцирование. Не зря порой его сравнивают с игрой в шахматы. Ведь для его осуществления недостаточно просто запомнить таблицу - необходимо подходить к решению задачи творчески.

Четкое понимание интегрирования

Четко усвойте, что интегрирование - процесс, обратный дифференцированию. В большинстве учебников функция, получаемая в результате интегрирования, обозначается как F(x) и носит название первообразной. Производная первообразной равна F'(x)=f(x). Например, если в задаче дана функция f(x)=2x, процесс интегрирования выглядит следующим образом: ∫2x=x^2+C, где C=const, при условии, что F'(x)=f(x). Процесс интегрирования функции можно записать и иным образом: ∫f(x)=F(x)+C.

Свойства интегралов

Обязательно запомните следующие свойства интегралов:
1. Интеграл суммы равен сумме интегралов: ∫[f(x)+z(x)]=∫f(x)+∫z(x). Для доказательства этого свойства возьмите производные от левой и правой части интеграла, после чего используйте аналогичное свойство суммы производных.
2. Постоянный множитель выносится за знак интеграла: ∫AF(x)=A∫F(x), где A=const.

Сложные интегралы и методы их решения

Простые интегралы вычисляются с использованием специальной таблицы. Однако, чаще всего в условиях задач встречаются сложные интегралы, для решения которых знания таблицы недостаточно. Приходится прибегать к использованию ряда дополнительных методов.

Интегрирование путем подведения под знак дифференциала

Первый из них заключается в интегрировании функции путем ее подведения под знак дифференциала: ∫f(d(x)z'(x)dx=∫f(u)d(u). Под u подразумевается сложная функция, которая и преобразовывается в простую.

Интегрирование по частям

Существует также несколько более сложный метод, который обычно применяется в случае, если необходимо проинтегрировать сложную тригонометрическую функцию. Он заключается в интегрировании по частям. Выглядит это следующим образом: ∫udv=uv-∫vdu.

Замена переменной

Еще один метод заключается в замене переменной. Он применяется в том случае, если под знаком интеграла имеются выражения со степенями или корнями. Формула замены переменной обычно имеет следующий вид: [∫f(x)dx]=∫f[z(t)]z'(t)dt, причем, t=z(t).

Интегрирование, хоть и сложный процесс, является неотъемлемой частью математики и науки в целом. Знание методов решения сложных интегралов позволяет применять математические модели для решения различных задач. Творческий подход и умение применять различные методы интегрирования являются важными навыками для успешной работы в сфере науки и техники.