Главная Войти О сайте

Как вычислить предел последовательности

Как вычислить предел последовательности

Содержание:
  1. Вычисление пределов последовательностей
  2. Метод подстановки значения аргумента
  3. Устранение неопределенности
  4. Использование спряженных выражений
  5. Использование правила Лопиталя
  6. Использование замечательных пределов

Вычисление пределов последовательностей

Вычисление пределов последовательностей является важной задачей в математике и может быть выполнено различными способами. Для этого необходимо иметь представление о числовых последовательностях и функциях, умение брать производные, а также преобразовывать и сокращать выражения. Кроме того, полезно использовать калькулятор для более точных вычислений.

Метод подстановки значения аргумента

Один из способов вычисления предела - это подстановка предельного значения аргумента в выражение последовательности. Если после подстановки получается определенное число, то это и есть искомый предел. Например, для последовательности с общим членом (3•x?-2)/(2•x?+7), если x > 3, мы можем подставить x = 3 и получить (3•3?-2)/(2•3?+7)=(27-2)/(18+7)=1.

Устранение неопределенности

Если при подстановке значения аргумента возникает неопределенность, необходимо выбрать способ, с помощью которого ее можно устранить. Это может быть достигнуто путем преобразования выражений, в которых записывается последовательность, и сокращения выражений. Например, для последовательности (x+vx)/(x-vx), когда x > 0, при прямой подстановке получается неопределенность 0/0. Чтобы избавиться от нее, можно вынести из числителя и знаменателя общий множитель vx и получить (vx•(vx+1))/(vx•(vx-1))= (vx+1)/(vx-1). Теперь можно подставить x = 1/(-1)=-1 и получить результат.

Использование спряженных выражений

Когда неопределенность не может быть сокращена, особенно если последовательность содержит иррациональные выражения, можно умножить числитель и знаменатель на спряженное выражение, чтобы убрать иррациональность из знаменателя. Например, для последовательности x/(v(x+1)-1), где значение переменной x > 0, можно умножить числитель и знаменатель на спряженное выражение (v(x+1)+1). Получим (x• (v(x+1)+1))/( (v(x+1)-1)•(v(x+1)+1))=(x• (v(x+1)+1))/(x+1-1)= (x• (v(x+1)+1))/x=v(x+1)+1. Подставив x = 0+1=1, получим ответ 2.

Использование правила Лопиталя

При неопределенностях типа 0/0 или ?/? можно использовать правило Лопиталя. Для этого необходимо представить числитель и знаменатель последовательности в виде функций и взять их производные. Предел отношения производных будет равен пределу отношения самих функций. Например, для последовательности ln(x)/vx, при x > ?, прямая подстановка дает неопределенность ?/?. Возьмем производные из числителя и знаменателя и получим (1/x)/(1/2•vx)=2/vx=0.

Использование замечательных пределов

Для раскрытия неопределенностей можно использовать первый замечательный предел sin(x)/x=1 при x>0 или второй замечательный предел (1+1/x)^x=exp при x>?. Например, для последовательности sin(5•x)/(3•x) при x>0, можно преобразовать выражение sin(5•x)/(3/5•5•x), вынеся множитель из знаменателя, получив 5/3•( sin(5•x)/(5•x)). Используя первый замечательный предел, получим 5/3•1=5/3. Аналогично, для последовательности (1+1/(5•x))^(6•x) при x>?, умножим и поделим показатель степени на 5•x, получим выражение ((1+1/(5•x))^(5•x)) ^(6•x)/(5•x). Применяя правило второго замечательного предела, получим exp^(6•x)/(5•x)=exp.


CompleteRepair.Ru