Как вычислить пределы функций, не пользуясь средствами дифференциального исчисления
- Непосредственное вычисление пределов
- Применение замечательных пределов
- Применение второго замечательного предела
- Применение эквивалентных бесконечно малых
Вычисление пределов с использованием дифференциального исчисления и их особенности
Вычисление пределов является одной из важных задач в математике и имеет множество применений. Для этого существуют различные методы, включая использование дифференциального исчисления и правила Лопиталя. Однако, не всегда эти методы применимы, и поэтому остается актуальной задача вычисления пределов обычными способами.
Непосредственное вычисление пределов
Одним из основных методов вычисления пределов является непосредственное вычисление пределов рациональных дробей Qm(x)/Rn(x), где Q и R - многочлены. Если вычисляется предел при x → a (a - число), то может возникнуть неопределенность, например [0/0]. Для устранения этой неопределенности необходимо поделить числитель и знаменатель на (x - a). Эту операцию следует повторять до тех пор, пока неопределенность не исчезнет. Пример такого деления приведен на рис. 1.
Применение замечательных пределов
Вторым методом вычисления пределов является применение замечательных пределов. Для этого необходимо привести выражение к соответствующему виду, использовать замены переменных или алгебраические преобразования. Например, если синус принимается от kx, то и знаменатель также равен kx. Пример применения замечательного предела приведен на рис. 2e. Кроме того, существуют и другие формулы, такие как arcsin(sinx) = x и arctg(tgx) = x, которые позволяют вычислять пределы с использованием различных методов (рис. 2с и 2d).
Применение второго замечательного предела
Второй замечательный предел используется для устранения неопределенностей типа [1^∞]. Для этого необходимо преобразовать условие задачи так, чтобы оно соответствовало виду предела. При возведении в степень выражений, уже находящихся в степени, их показатели перемножаются. Пример применения второго замечательного предела приведен на рис. 3а. Также можно использовать замену α = 1/x и получить следствие из второго замечательного предела (рис. 2b). Путем логарифмирования по основанию а обеих частей этого следствия можно получить второе следствие, в том числе и при a = e (рис. 2с). Дополнительно, можно сделать замену а^x-1 = y. Тогда x = log(a)(1+y). При стремлении x к нулю, y также стремится к нулю, что приводит к третьему следствию (рис. 2d).
Применение эквивалентных бесконечно малых
Для упрощения процесса вычисления пределов можно использовать эквивалентные бесконечно малые функции. Две функции считаются эквивалентными при x → a, если предел их отношения α(x)/γ(x) равен единице. При вычислении пределов с помощью таких бесконечно малых достаточно записать γ(x) = α(x) + o(α(x)), где o(α(x)) - это бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем α(x). Для выяснения эквивалентности можно использовать замечательные пределы. Этот метод позволяет значительно упростить процесс вычисления пределов и сделать его более понятным.
Вычисление пределов является важной задачей в математике и имеет множество применений в различных областях. Использование различных методов, таких как непосредственное вычисление пределов, применение замечательных пределов, применение второго замечательного предела и применение эквивалентных бесконечно малых, позволяет эффективно решать задачи и получать точные результаты.