Эврика!

Регистрация

Как вычислить приближенно интеграл

Классические модели приближенного вычисления определенного интеграла основаны но построении интегральных сумм. Эти суммы должны быть наиболее короткими, но обеспечивающими достаточно малую погрешность вычисления.Зачем?С тех пор, как появились серьезные ЭВМ и хорошие ПК, актуальность задачисокращения числа вычислительных операций несколько отошла на второй план.Безусловно, огульно отвергать их не следует, а вот взвесить между простотой алгоритма (где много вычислительных операций)и сложностьюболее точного - явно не помешает.Как вычислить приближенно интеграл

Рассмотрим задачу вычисления определенных интегралов методом«Монте-Карло». Применение стало возможным после появления первых ЭВМ, поэтому его отцами считаются американцы Нейман и Улам (отсюда и броское название, так как по тем временамнаилучшимдатчиком случайных чисел являлась игровая рулетка).От авторского права (в названии) отойти не имею права, но сейчас упоминают либо статистические испытания, либо статистическое моделирование.

Для получения случайных чисел, обладающихзаданным распределением на интервале (a, b) используются случайные числа z, равномерных на (0, 1). В среде Pascal это соответствует подпрограммеRandom. На калькуляторах на этот случай имеется кнопка RND. Существуют и таблицы таких случайных чисел. Этапы моделирования простейших распределений также просты (буквально до крайности). Так, порядок вычисления числовой модели случайной на (a,b) величины,плотность вероятности которой W(x) следующая. Определивфункцию распределенияF(x), приравняйте ее zi. Тогдаxi=F^(-1)(zi)(имеется в виду обратная функция). Далее получайте сколь угодно много (впределах возможностей вашего ПК) значений цифровой моделиxi.

Теперь следует непосредственный этап вычислений. Пусть вам необходимо вычислить определенныйинтеграл (см. рис. 1а). На рисунке 1 W(x) можно считать произвольной плотностью вероятности случайной величины (СВ), распределенной на (a,b), а искомый интеграл – математическим ожиданием функции этой СВ. Так что единственное требование к требование к W(x) – условие нормировки (рис. 1b).
В математической статистике оценкой математического ожидания является среднее арифметическое наблюдаемых значений функции СВ (рис.1 с). Вместо наблюдений наберите их цифровые модели и вычисляйте определенные интегралы с практически с любой желаемой точностью без всяких (иной раз тяжелейших, если привлечь метод Чебышева) выкладок.Как вычислить приближенно интеграл

Вспомогательную W(x) следуетбрать простейшей, но, все-таки таки, хотя бы слегка напоминающей (по графику)интегрируемую функцию. Не возможно скрыть, что снижение погрешности в 10 раз стоит увеличения выборки модели в 100 раз. Ну и что? Когда кому-либо требовалось более трех знаков за запятой? А это всего лишь миллион вычислительных операций.

© CompleteRepair.Ru