Эврика!

Как вычислить вторую производную

Содержание

  1. Инструкция

Как вычислить вторую производную

Математические методы применяются во многих областях науки. Это утверждение касается, в частности, дифференциального исчисления. Например, если вычислить вторую производную функции расстояния от переменной времени, то можно найти ускорение материальной точки.

Инструкция

  • Дифференцирование функции при каждом значении области ее определения приводит к появлению новой функции. Таким образом, она тоже может быть продифференцирована. Результатом этой вторичной операции будет вторая производная исходной функции.
  • Правила и методы дифференцирования сохраняются для производных высших порядков. Это касается некоторых элементарных функций, операций сложения, произведения и деления, а также сложных функций вида u(g(х)):• u’ = С’ = 0 – производная константы;• u’ = х’ = 1 – простейшая функция одного аргумента;• u’ = (х^а)’ = а•х^(а-1);• u’ = (а^х)’ = а^х•ln а – показательная функция;
  • Основные тригонометрические функции также являются табличными:• u’ = (sin х)’ - соs х;• u’ = (соs х)’ = -sin х;• u’ = (tg х)’ = 1/соs² х;• u’ = (ctg х)’ = - 1/sin² х.
  • Арифметические операции пары функций u(х) и g(х):• (u + g)’ = u’ + g’;• (u•g)’ = u’•g + g’•u;• (u/g)’ = (u’•g – g’•u)/g².
  • Довольно трудно вычислить вторую производную сложной функции. Для этого применяют методы численного дифференцирования, хотя результат получается приближенным, присутствует так называемая погрешность аппроксимации α:u’’(х) = (u(х + h) – 2•u(х) + u(х - h))/h² + α(h²) – интерполяционный многочлен Ньютона;u’’(х) = (-u(х + 2•h) + 16•u(х + h) – 30•u(х) + 16•u(х - h) – u(х – 2•h))/(12•h²) + α(h²) – формула Стрилинга.
  • В этих формулах присутствует некая величин h. Она называется шагом аппроксимации, выбор которого должен быть оптимальным, чтобы минимизировать погрешность вычисления. Подбор правильного значения h называется регуляцией по шагу:|u(х + h) – u(х)| > ε, где ε бесконечно мало.
  • Метод вычисления второй производной применяется при нахождения полного дифференциала второго порядка. При этом она частным образом рассчитывается для каждого аргумента и участвует в конечном выражении в виде множителя соответствующего дифференциала dх, dy и т.д.:d² u = ∂u’/∂х •d²х + ∂u’/∂y •d²у + ∂u’/∂z •d²z.
  • Пример: найдите вторую производную функции u = 2•х•sin х – 7•х³ + х^5/tg х.
  • Решениеu’ = 2•sin x + 2•х•соs х – 21•х² + 5•х^4/tg х – х²/sin² х;u’’ = 4•соs х – 2•х•sin х – 42•х + 20•х³/tg х – 5•х^4/sin² х – 2•х/sin² х + 2•х²•соs х/sin³ х.

Сколько букв в украинском языке
Сколько букв в украинском языке
Как появилась Самара
Как появилась Самара
Как найти радиус основания конуса
Как найти радиус основания конуса
Что такое антиоксиданты
Что такое антиоксиданты
Как определить прочность материала
Как определить прочность материала
Как найти неизвестное слагаемое
Как найти неизвестное слагаемое

© CompleteRepair.Ru