Главная Войти О сайте

Как вычислять комплексные числа

Как вычислять комплексные числа

Содержание:
  1. Комплексные числа: расширение понятия числа
  2. Мнимая единица
  3. Мнимые числа
  4. Координатная плоскость
  5. Типы комплексных чисел
  6. Модуль комплексного числа
  7. Сравнение комплексных чисел
  8. Арифметические операции с комплексными числами
  9. Возведение в степень и извлечение корня

Комплексные числа: расширение понятия числа

Комплексные числа представляют собой дальнейшее расширение понятия числа по сравнению с действительными числами. Введение в математику комплексных чисел позволило придать законченный вид многим закономерностям и формулам, а также выявило глубокие связи между разными областями математической науки.

Мнимая единица

Как известно, никакое действительное число не может быть квадратным корнем из отрицательного числа. Для решения этой проблемы было введено понятие мнимой единицы, обозначаемой как i. Мнимая единица равна квадратному корню из -1.

Мнимые числа

Мнимое число представляет собой число, которое можно выразить в виде произведения мнимой единицы i на действительное число b. Таким образом, любое мнимое число можно записать в виде ib, где b - действительное число.

Координатная плоскость

Действительные числа представлены на числовой оси от минус бесконечности до плюс бесконечности. Мнимые числа удобно представить в виде перпендикулярной оси, пересекающейся с осью действительных чисел. Вместе они образуют координаты на числовой плоскости. Каждой точке на плоскости с координатами (a, b) соответствует одно и только одно комплексное число вида a + ib, где a и b - действительные числа. Первое слагаемое этой суммы называется действительной частью комплексного числа, а второе - мнимой частью.

Типы комплексных чисел

Если a = 0, то комплексное число называется чисто мнимым. Если b = 0, то число называется действительным.

Модуль комплексного числа

Комплексное число можно представить в виде вектора, начало которого совпадает с началом координат, а конец находится в точке (a, b). У комплексного числа есть абсолютное значение, или модуль, которое можно вычислить по формуле |z| = √(x^2 + y^2), где z = x + iy.

Сравнение комплексных чисел

Два комплексных числа считаются равными только в том случае, если их действительная и мнимая части соответственно равны. Не имеет смысла сравнивать комплексные числа с использованием знаков неравенства, однако можно сравнивать их модули.

Арифметические операции с комплексными числами

Сложение и вычитание комплексных чисел подчиняются тем же правилам, что и сложение и вычитание векторов. Произведение двух комплексных чисел можно вычислить по формуле z1*z2 = (x1*x2 - y1*y2) + i(x1*y2 + x2*y1).

Возведение в степень и извлечение корня

Операции возведения в степень и извлечения корня для комплексных чисел определяются так же, как и для действительных. В комплексной области для любого числа существует ровно n таких чисел b, что b^n = a. Это означает, что любое алгебраическое уравнение n-ой степени с одной переменной имеет ровно n комплексных корней.


CompleteRepair.Ru