Как вычислять в системах счисления

Содержание:

1. Позиционные системы счисления
2. Арифметические операции в позиционной системе счисления
3. Выполнение арифметических операций
4. Сложение многоразрядных чисел
5. Вычитание в позиционных системах счисления
6. Умножение многоразрядных двоичных чисел

Позиционные системы счисления

Число может быть записано в любой из существующих позиционных систем счисления, где значение каждого числового знака (цифры или буквы) зависит от его позиции (разряда). Помимо десятичной, наиболее известны двоичная, шестнадцатеричная и восьмеричная системы.

Арифметические операции в позиционной системе счисления

В позиционной системе счисления можно производить над числами арифметические операции. Вычитание и сложение определяются правилами сложения однозначных чисел и порядком основания. Для умножения и деления достаточно применять таблицу умножения в соответствующей системе счисления.

Выполнение арифметических операций

Все арифметические действия с числами в системах счисления выполняются, начиная с младшего разряда (справа налево). При любой операции числа записываются так, чтобы крайние знаки справа были точно друг под другом. Действия с одноразрядными числами, то есть, состоящими из одного знака, производятся с учетом основания системы счисления. При разрядности системы N, ее числа имеют значения от 0 до N-1. Если получаемые значения свыше N-1, то из результата вычитается N-1, остаток записывается в текущие единицы и к числу добавляется следующий разряд.

Сложение многоразрядных чисел

При сложении многоразрядных чисел (содержащих в записи несколько числовых или буквенных знаков) нужно дополнительно производить перенос при переполнении разряда и учитывать его при сложении последующих цифр или знаков числа. В двоичной системе с основанием 2 имеется всего две цифры: 0 и 1. Переполнение здесь происходит при сложении единиц, при этом в младший разряд записывается 0 и добавляется 1 в старший. Аналогично в любой другой позиционной системе счисления, только учитывается соответствующее основание.

Вычитание в позиционных системах счисления

Вычитание производится по уже известным правилам займа единицы из старшего разряда. Вычитая два числа в восьмеричной системе, например, числа 2743 и 1371, запишите их друг под другом – сверху уменьшаемое, снизу вычитаемое, еще ниже проведите горизонтальную черту. Справа налево отнимайте единицы сначала младшего разряда, затем последующего и т.д. При вычитании из 3 числа 1 – в результате будет 2, далее из 4 вычитается 7 и здесь потребуется провести займ из старшего разряда. Для этого к 4 прибавьте основание данной системы счисления – число 8, из получившегося значения (8+4=12) вычитайте число 7 – останется 5, запишите этот результат под чертой. В последующем, старшем разряде из 7 вычтите занятую единицу, останется число 6. Из него уже отнимите число, стоящее ниже – 3. В результате останется 3, запишите результат под чертой. Проведите вычитание над последними числами – 2-1=1 – окончательный результат операции в восьмеричной системе выглядит так: 1352.

Умножение многоразрядных двоичных чисел

Умножение многоразрядных двоичных чисел производится в соответствии со специальной таблицей по обычной схеме, применяемой и в десятичной системе. Произведение чисел выполняется с помощью попеременного умножения одноразрядных чисел, соответствующей записи результатов и их дальнейшего сложения столбиком со сдвигом.