Область сходности ряда: как найти ее координаты

Содержание:

1. Определение области сходимости степенного ряда
2. Сходимость и расходимость ряда
3. Область сходимости степенного ряда
4. Абсолютная сходимость
5. Сходимость при всех значениях х
6. Сходимость только в точке
7. Нахождение области сходимости

Определение области сходимости степенного ряда

При изучении функциональных рядов часто используют термин степенного ряда, который обладает общим членом и состоит из целых положительных степеней независимой переменной х. В ходе решения задач на данную тематику необходимо уметь находить область сходимости ряда.

Сходимость и расходимость ряда

Для определения области сходимости степенного ряда необходимо разобраться с понятием сходимости. Для этого выбирается некоторый числовой ряд, состоящий из суммы определенных параметров и равный общему значению. Затем выбирается промежуток n значений, которые необходимо просуммировать. Если с возрастанием n данные суммы будут стремиться к определенной конечной величине, то такой ряд является сходящимся. Если же величины возрастают или убывают бесконечно, то в данном случае ряд расходится.

Область сходимости степенного ряда

Для определения области сходимости степенного ряда используются три случая расчетов.

Абсолютная сходимость

Выберите любое значение х из интервала (а; в) степенного ряда и подставьте его в общий член, чтобы выявить абсолютную сходимость. Для определения области сходимости необходимо подставить х в концы интервала, т.е. х=а и х=в. Если степенной ряд будет расходится при обоих значениях, то область сходимости равна (а; в). Если же расхождение ряда наблюдается только с одной стороны интервала, то искомая область равна [а; в) или (а; в]. Для случая расхождения на обоих концах, берется отрезок [а; в].

Сходимость при всех значениях х

Проверьте, сходится ли степенной ряд абсолютно при всех значениях х. В этом случае интервал сходимости и область сходимости будут совпадать и равны от «минус» бесконечности до «плюс» бесконечности.

Сходимость только в точке

Определите, что степенной ряд сходится только в точке, где х=0. Согласно правилам рядов, в этом случае область сходимости будет совпадать с интервалом сходимости и приравниваться к нулю.

Нахождение области сходимости

Найдите область сходимости для заданного степенного ряда. Для начала необходимо найти интервал сходимости, который рассчитывается, как правило, по признаку Даламбера с нахождением предела. Необходимо составить отношение следующего члена степенного ряда к предыдущему, после чего упростить дробь. После этого вынесите х за знак предела вместе со знаком, и устраните неопределенность отношения бесконечностей. Далее область сходимости ряда определяется по вышеперечисленным правилам.