Главная Войти О сайте












Что такое интегралы

Интегралом называется величина, обратная дифференциалу функции. Многие физические и другие задачи сводятся к решению сложных дифференциальных или интегральных уравнений. Для этого необходимо знать, что представляют собой дифференциальное и интегральное исчисление.Что такое интегралы

Представьте себе некоторую функцию F(x), производной которой является функция f(x). Это выражение можно записать в следующем виде:

F'(x)=f(x).

Если функция f(x) является производной для функции F(x), то функция F(x) является первообразная для f(x).

У одной и той же функции может быть несколько первообразных. Примером этого может служить функция x^2. Она имеет бесконечное число первообразных, среди которых основные - такие, как x^3/3 или x^3/3+1. Вместо единицы или любого другого числа указывается постоянная C, которая записывается следующим образом:

F(x)=x^n+C, где C=const.

Интегрированием называется нахождение первообразной функции, обратной дифференциалу. Интеграл обозначается в виде знака ∫. Он может быть как неопределенным, когда дана некоторая функция с произвольной C, и определенным, когда С имеет некоторое значение. В таком случае интеграл задается двумя значениями, которые называются верхним и нижним пределами.

Поскольку интеграл представляет собой обратную величину производной, в общем виде он выглядит следующим образом:

∫f(x)=F(x)+C.

Так, например, используя таблицу дифференциалов, можно найти первообразную функции y=cosx:

∫cosx=sinx, так как производная функции f(x) равна f'(x)=(sinx)'=cosx.

У интегралов имеются и другие свойства. Ниже перечислены лишь самые основные из них:

- интеграл суммы равен сумме интегралов;
- постоянный множитель может быть вынесен за знак интеграла;

В некоторых задачах, особенно по геометрии и физике, применяются интегралы другого вида - определенные. Например, он может использоваться, если необходимо определить расстояние, которая прошла материальная точка между периодами времени t1 и t2.

Существуют технические устройства, способные осуществлять интегрирование. Простейшее из них - аналоговая интегрирующая цепочка. Она имеется в интегрирующих вольтметрах, а также в некоторых дозиметрах. Несколько позже были изобретены цифровые интеграторы - счетчики импульсов. В настоящее время функцию интегратора можно присвоить программно любому прибору, в котором имеется микропроцессор.


CompleteRepair.Ru