Главная Войти О сайте

Что такое метод Джордана Гаусса

Метод Джордана-Гаусса является одним из способов решения систем линейных уравнений. Он обычно используется, для нахождения переменных, когда другие способы оказываются бессильными. Его суть состоит в использовании треугольной матрицы или блок-схемы для выполнения поставленной задачи.Что такое метод Джордана Гаусса

Метод Гаусса



Допустим, что необходимо решить систему линейных уравнений следующего вида:

1) Х1+Х2+Х4=0;
2) –Х2-Х3-5Х4=0;
3)-4Х2-Х3-7Х4=0;
4)3Х2-3Х3-2Х4=0;

Как видно, всего имеется четыре переменных, которые надо найти. Есть несколько способов сделать это.

Для начала, необходимо записать уравнения системы в виде матрицы. В данном случае она будет иметь три колонки и четыре строки:

Х1Х2Х4
-Х2Х35Х4
-4Х2Х3-7Х4
3Х2-3Х3-2Х4

Первым и наиболее простым способом решения является подстановка переменной из одного уравнения системы в другое. Таким образом, можно добиться того, что все переменные, кроме одной будут исключены и останется только одно уравнение.

Например, можно вывести и подставить переменную Х2 извторой строки в первую. Эта процедура может быть выполнена и для других строк. В результате из первого столбца будут исключены все переменные, кроме одной.
Затем исключение Гаусса необходимо аналогично применить и ко второй колонке. Далее таким же методом можно поступить и с остальными строками матрицы.


Таким образом, все строки матрицы приобретают треугольный вид в результате этих действий:

0Х10
0Х20
000
Х30 Х4


Метод Джордана-Гаусса



Исключение Джордана-Гаусса включает дополнительный шаг. С помощью него устраняются все переменные, кроме четырех,и матрица приобретает практически идеальный диагональный вид:





Х100
0Х20
0Х30
00Х4

Далее можно искать значения этих переменных. В данном случае, x1=-1, x2=2 и так далее.
Необходимость резервного замещения решается для каждой переменной в отдельности, как в гауссовом замещении, поэтому все ненужные элементы будут устранены.


Дополнительные операции в исключении Джордана-Гаусса играют роль подстановки переменных в матрице диагональной формы. Этоутраивает количество вычислений, необходимых, даже в сравнении с операциями резервного замещения Гаусса. Однако это помогает найти значения неизвестный с большей точностью и помогает лучше просчитывать отклонения.

Недостатки



Дополнительные операции метода Джордана-Гаусса повышают вероятность возникновения ошибки и увеличивают время, необходимое на вычисление. Недостатком обоих является то, что они требуют правильного алгоритма. Если последовательность действий сбивается, то результат тоже может оказаться неправильным.

Именно поэтому такие методы чаще всего используются не для вычислений на бумаге, а для компьютерных программ. Реализовать их можно практически любым способом и на всех языках программирования: от Basic до С.


CompleteRepair.Ru