Главная Войти О сайте

Что такое производная

Производная функция - базовый элемент дифференциального исчисления, который является результатом применения какой-либо операции дифференцирования к исходной функции.Что такое производнаяНазвание функции происходит от слова «произведенная», т.е. образованная от другой величины. Процесс определения производной какой-либо функции называется дифференцированием. Распространенный способ представления и определения - через теорию пределов, хотя она возникла позже дифференциального исчисления. Согласно этой теории производная - это предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если такой предел существует, при условии, что аргумент стремится к нулю. Считается, что впервые термин «производная» употребил известный русский математик В.И.Висковатов.Чтобы найти производную функции f в точке x, необходимо определить значения этой функции в точке х и в точке x+Δx, где Δx – приращение аргумента х. Найти приращение функции y = f(x+Δx) – f(x). Записать производную через предел отношения f’ = lim(f(x+Δx) – f(x))/Δx, вычислить при Δx → 0. Принято обозначать производную знаком апостроф «’» над дифференцируемой функцией. Один апостроф – первая производная, два – вторая, производная высшего порядка задается соответствующей цифрой, например, f^(n) – производная n-го порядка, где n – целое число ≥ 0. Производная нулевого порядка есть сама дифференцируемая функция.Для облегчения дифференцирования сложных функций были разработаны правила дифференцирования: C’ = 0, где С – константа; x’ = 1; (f + g)’ = f’ + g’; (C*f)’ = C*f’ и т.д.Для N-кратного дифференцирования применима формула Лейбница: (f*g)^(n) = Σ C(n)^k*f^(n-k)*g^k, где C(n)^k – биномиальные коэффициенты.Некоторые свойства производной: 1) Если функция дифференцируема на некотором интервале, то она непрерывна на этом интервале;2) По лемме Ферма: если функция имеет локальный экстремум (минимум/максимум) в точке х, то f(x) = 0;3) У разных функций могут быть одинаковые производные.Геометрический смысл производной: если функция f имеет конечную производную в точке х, то значение этой производной будет равно тангенсу угла наклона касательной к функции f в этой точке.Физический смысл производной: первая производная к функции движении тела – мгновенная скорость, вторая производная – мгновенное ускорение. Аргумент функции – момент времени.Экономический смысл производной: первая производная от объема произведенной продукции в определенный момент времени есть производительность труда.


CompleteRepair.Ru