Что такое рациональные числа
- Что такое рациональные числа?
- Определение рациональных чисел
- Множество рациональных чисел
- Свойства рациональных чисел
- Применение рациональных чисел
Что такое рациональные числа?
Название "рациональные числа" происходит от латинского слова ratio, что в переводе означает "отношение". Давайте подробнее рассмотрим, что же это за числа.
Определение рациональных чисел
По определению рациональным числом называется такое число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби. Числителем такой дроби должно быть целое число, а знаменателем - натуральное. В свою очередь натуральные числа - это те, которые используются при счете предметов, а целые - это все натуральные, противоположные им и ноль.
Множество рациональных чисел
Множеством рациональных чисел называют множество представлений этих дробей. Дробь следует понимать как результат деления, например, дроби 1/2 и 2/4 следует понимать как аналогичное рациональное число. Поэтому дроби, которые можно сократить, несут один математический смысл с этой точки зрения. Множество всех целых чисел является подмножеством рациональных.
Свойства рациональных чисел
Рациональные числа обладают четырьмя основными свойствами арифметики, а именно - умножением, сложением, вычитанием и делением (кроме ноля), а также возможностью упорядочить эти числа. Для каждого элемента из множества рациональных чисел доказано наличие обратного и противоположного элемента, наличие нуля и единицы. Множество этих чисел ассоциативно и коммутативно как по сложению, так и по умножению. Среди свойств есть известная теорема Архимеда, которая гласит, что какое бы ни взяли рациональное число, можно взять столько единиц, что сумма этих единиц превзойдет данное рациональное число. Заметим, что множество рациональных чисел является полем.
Применение рациональных чисел
Область применения рациональных чисел очень широка. Это те числа, которые применяются в физике, экономике, химии и других науках. Большое значение рациональные числа играют в финансовых и банковских системах. При всей мощности множества рациональных чисел, ее не хватает для решения задач планиметрии. Если взять небезизвестную теорему Пифагора, там возникает пример нерационального числа. Поэтому возникла необходимость расширить это множество до множества так называемых вещественных чисел. Изначально понятия "рациональный", "иррациональный" относились не к числам, а к соизмеримым и несоизмеримым величинам, которые иногда называли выразимыми и невыразимыми.
