Находится область определения функции, т.е. диапазон значений x, при которых функция принимает какое либо значение.
Определяются области непрерывности и точки разрыва. При этом обычно области непрерывности совпадают с областью определения функции, необходимо исследовать левые и правые приделы изолированных точек.
Проверяется наличие вертикальных асимптот. Если функция имеет разрывы, то необходимо исследовать концы соответствующих промежутков.
Четность и нечетность функции проверяется по определению. Функция y = f(x) называется четной, если для любого x из области определения верно равенство f(-x) = f(x).
Функция проверяется на периодичность. Для этого x меняется на x + T и ищется наименьшее положительное число T. Если такое число существует, то функция периодична, а число T – период функции.
Функция проверяется на монотонность, находятся точки экстремума. При этом производную функции приравнивают к нулю, найденные при этом точки, выставляют на числовой прямой и добавляют к ним точки, в которых производная не определена. Знаки производной на получившихся промежутках определяют области монотонности, а точки перехода между разными областями являются экстремумами функции.
Исследуется выпуклость функции, находятся точки перегиба. Исследование производится аналогично исследованию на монотонность, но при этом рассматривается вторая производная.
Находятся точки пересечения с осями OX и OY, при этом y = f(0) – пересечение с осью OY, f(x) = 0 – пересечение с осью OX.
Определяются пределы на концах области определения.
Строится график функции.
По графику определяется область значений функции и ограниченность функции.
