Как исследовать непрерывность функции
- Исследование функций на непрерывность
- Определение непрерывности
- Разрывы функций
- Исследование непрерывности сложной функции
- Определение непрерывности на отрезке
- Заключение
Исследование функций на непрерывность
Непрерывность - одно из основных свойств функций. Решение о том, непрерывна данная функция или нет, позволяет судить о других свойствах исследуемой функции. Поэтому так важно исследовать функции на непрерывность.
Определение непрерывности
Итак, начнем с определения непрерывности. Оно гласит следующее: Функция f(x), определенная в некоторой окрестности точки a, называется непрерывной в этой точке, если lim f(x)=f(a) при x -> a.
Разрывы функций
Перед тем, как приступить к исследованию функций на непрерывность, нужно понять, что если функция не определена в данной точке, то о непрерывности говорить нет. Например, функция f(x)=1/x не существует в нуле, что является разрывом. Также разрывы могут возникать в сложных функциях, в которые нельзя подставить некоторые значения.
Исследование непрерывности сложной функции
Если функция состоит из кусочков других функций, нам нужно определить ее непрерывность. Для этого нужно ответить на несколько вопросов. Во-первых, определены ли взятые функции на заданных интервалах. Если ответ положительный, то точки разрыва могут быть только в точках смены функции.
Определение непрерывности на отрезке
Чтобы определить непрерывность сложной функции, необходимо исследовать функцию в точках смены. Для этого нужно найти значения функции в этих точках и вычислить правый и левый пределы для этих точек. Если пределы совпадают, то функция непрерывна в данной точке. Если пределы не совпадают, то функция разрывна.
Заключение
Исследование функций на непрерывность является важным шагом при изучении функций. При анализе необходимо помнить, что большинство известных функций являются непрерывными, включая линейную, квадратичную, показательную и тригонометрические функции.
