Главная Войти О сайте

Как находить обратную матрицу

Как находить обратную матрицу

Содержание:
  1. Изучение алгоритма нахождения обратной матрицы
  2. Метод нахождения обратной матрицы с использованием миноров
  3. Метод нахождения обратной матрицы с помощью метода Гаусса
  4. Проверка правильности вычислений

Изучение алгоритма нахождения обратной матрицы

Изучим алгоритм нахождения обратной матрицы двумя основными методами: методом Гаусса и с помощью союзной матрицы. Для этого нам понадобится внимательность и знание методики.

Метод нахождения обратной матрицы с использованием миноров

Пусть дана матрица А некоторого размера. Обратной матрицей матрицы А будет являться матрица B, при умножении которой на исходную матрицу А будет получаться единичная матрица Е. Обратная матрица может быть найдена только для квадратной матрицы, определитель которой не равен нулю.

Матрица B вычисляется следующим образом:
1. Начиная с самого первого элемента, идём по строчке слева направо. Для каждого элемента мысленно вычёркиваем строку и столбец, в которые он входит. Затем вычисляем определитель оставшейся матрицы (значение минора) и записываем его в новую матрицу. Однако, если мы берём из исходной матрицы текущий элемент, последовательно проходя по строчкам, то в новую матрицу записываем их уже в столбик.
2. Знаки полученных элементов, начиная с первого, будут чередовать через один. Точное определение знака состоит в том, что знак определяется выражением (-1) в степени суммы индексов данного элемента, то есть сумма номера строки и столбца, в которых он расположен. Иными словами, знак на противоположный нужно поменять у элементов, имеющих нечётную сумму индексов.
3. Перед полученной обратной матрицей B ставится коэффициент 1/определитель исходной матрицы А.

Метод нахождения обратной матрицы с помощью метода Гаусса

Описанный выше метод нахождения обратной матрицы с использованием миноров - только один из возможных методов. Также можно воспользоваться методом Гаусса. Он заключается в том, что мы берём исходную матрицу А и единичную матрицу Е. Применяя преобразования строк или столбцов (можем вычитать или складывать соответствующие столбцы или строки или умножать их на число) к ним обеим одновременно, приведём А к Е. Тогда вторая получившаяся матрица будет обратной, то есть B.

Проверка правильности вычислений

Проверить правильность ваших вычислений очень просто: перемножьте исходную матрицу А и обратную ей матрицу B. Если получится единичная матрица Е, то все действия сделаны верно.


CompleteRepair.Ru