Как находить пределы последовательности
- Изучение методологии вычисления пределов последовательностей
- Числовая последовательность и ее предел
- Первый способ вычисления предела последовательности
- Пример 2. Доказательство отсутствия предела
- Задачи непосредственного вычисления предела последовательности
- Не традиционный способ нахождения предела последовательности
- Пример 3. Найдем сумму вида 1+1/2!+1/3!+...+1/n!+...=s.
Изучение методологии вычисления пределов последовательностей
Изучение методологии вычисления пределов начинается с вычисления пределов последовательностей. В этом случае, аргумент является натуральным числом n, стремящимся к положительной бесконечности. Поэтому более сложные случаи попадают на долю функций.
Числовая последовательность и ее предел
Числовую последовательность можно рассматривать как функцию xn=f(n), где n - натуральное число (обозначается {xn}). Элементы последовательности xn называются членами последовательности, а n - номером члена. Если функция f(n) задана аналитически формулой, то xn=f(n) называется формулой общего члена последовательности. Число а называется пределом последовательности {xn}, если для любого ε>0 существует номер n=n(ε), начиная с которого выполняется неравенство |xn-a|<ε.
Первый способ вычисления предела последовательности
Первый способ вычисления предела последовательности основан на ее определении. Он позволяет доказать, что какое-либо число а является или не является пределом последовательности, но не дает прямого способа его поиска.
Пример 1. Докажем, что последовательность {xn} = {(3n^2-2n-1)/(n^2-n-2)} имеет предел а=3.
Решение. Мы проведем доказательство, используя определение в обратном порядке. Предварительно упростим формулу для xn:
xn = (3n^2+4n+2)/(n^2+3n+2) = ((3n+1)(n+1))/((n+2)(n+1)) = (3n+1)/(n+2).
Рассмотрим неравенство |(3n+1)/(n+2)-3|<ε. Чтобы найти натуральное число nε, при котором это неравенство выполняется, нужно найти nε, большее -2+5/ε.
Пример 2. Доказательство отсутствия предела
Докажем, что число а=1 не является пределом последовательности из примера 1.
Решение. Вновь упростим общий член последовательности. Возьмем ε=1 (это любое число >0). Запишите заключающее неравенство общего определения |(3n+1)/(n+2)-1|<ε.
Задачи непосредственного вычисления предела последовательности
Задачи непосредственного вычисления предела последовательности имеют однообразную структуру. Все они содержат отношения полиномов относительно n или иррациональных выражений относительно этих полиномов. При решении таких задач нужно вынести за скобки составляющую, находящуюся в старшей степени, и затем записать ответ: 0, если pq.
Не традиционный способ нахождения предела последовательности
Мы можем использовать функциональные последовательности для нахождения предела последовательности и бесконечных сумм.
Пример 3. Найдем сумму вида 1+1/2!+1/3!+...+1/n!+...=s.
Решение. Положим 1=exp(0) и рассмотрим функциональную последовательность {1+x+x^2/2! +x^3/3! +...+x^n/n!}, n=0,1,2,... . Заметим, что этот полином совпадает с многочленом Тейлора для exp(x). Подставим x=1, тогда exp(1)=e=1+1+1/2!+1/3!+...+1/n!+...=1+s. Ответ: s=e-1.
