Как находить точку максимума функции
- Точки экстремума функции
- Исследование функции
- Условия исследования
- Первая производная и скорость изменения функции
- Значение первой производной и точка локального максимума
- Нахождение точки локального максимума
- Пример и проверка
Точки экстремума функции
Точки максимума функции наряду с точками минимума называются точками экстремума. В этих точках функция меняет характер поведения. Экстремумы определяются на ограниченных числовых интервалах и всегда являются локальными.
Исследование функции
Процесс нахождения локальных экстремумов называется исследованием функции и выполняется путем анализа первой и второй производной функции.
Условия исследования
Перед началом исследования убедитесь, что заданный интервал значений аргумента принадлежит к допустимым значениям. Например, для функции F=1/x значение аргумента х=0 недопустимо. Или для функции Y=tg(x) аргумент не может иметь значение х=90°.
Первая производная и скорость изменения функции
Убедитесь, что функция Y дифференцируема на всем заданном отрезке. Найдите первую производную Y'. Очевидно, что до достижения точки локального максимума функция возрастает, а при переходе через максимум функция становится убывающей. Первая производная по своему физическому смыслу характеризует скорость изменения функции. Пока функция возрастает, скорость этого процесса является величиной положительной. При переходе через локальный максимум функция начинает убывать, и скорость процесса изменения функции становится отрицательной. Переход скорости изменения функции через ноль происходит в точке локального максимума.
Значение первой производной и точка локального максимума
Следовательно, на участке возрастания функции ее первая производная положительна для всех значений аргумента на этом интервале. И наоборот — на участке убывания функции значение первой производной меньше нуля. В точке локального максимума значение первой производной равно нулю. Очевидно, чтобы найти локальный максимум функции, необходимо найти точку х₀, в которой первая производная этой функции равна нулю. При любом значении аргумента на исследуемом отрезке хх₀ - отрицательной.
Нахождение точки локального максимума
Для нахождения х₀ решите уравнение Y'=0. Значение Y(х₀) будет локальным максимумом, если вторая производная функции в этой точке меньше нуля. Найдите вторую производную Y", подставьте в полученное выражение значение аргумента х= х₀ и сравните результат вычислений с нулем.
Пример и проверка
Например, функция Y=-x²+x+1 на отрезке от -1 до 1 имеет непрерывную производную Y'=-2x+1. При х=1/2 производная равна нулю, причем при переходе через эту точку производная меняет знак с «+» на «-». Вторая производная функции Y"=-2. Постройте по точкам график функции Y=-x²+x+1 и проверьте, является ли точка с абсциссой х=1/2 локальным максимумом на заданном отрезке числовой оси.
