Как найти аргумент комплексного числа
- Комплексные числа и их аргументы
- Комплексная плоскость и полярная система координат
- Нахождение модуля и аргумента
- Примеры вычисления аргумента
- Дополнительная информация
Комплексные числа и их аргументы
Комплексным числом называется число вида z =x + iy, где x и y – действительные числа, а i = мнимая единица (т.е. число, квадрат которого равен -1). Для определения понятия аргумента комплексного числа рассмотрим его на комплексной плоскости в полярной системе координат.
Комплексная плоскость и полярная система координат
Плоскость, на которой представляют комплексные числа, называется комплексной. На этой плоскости горизонтальную ось занимают вещественные числа (x), а вертикальную ось – мнимые числа (y). На такой плоскости число задается двумя координатами z = {x, y}. В полярной системе координат координатами точки являются модуль и аргумент. Модулем называют расстояние |z| от точки до начала координат. Аргументом называют угол ϕ между вектором, соединяющим точку и начало координат и горизонтальной осью системы координат.
Нахождение модуля и аргумента
Модуль комплексного числа z = x + iy находится по теореме Пифагора: |z| = √ (x^2 + y^2). Аргумент числа z находится как острый угол треугольника – через значения тригонометрических функций sin, cos, tg: sin ϕ = y / √ (x^2 + y^2), cos ϕ = x / √ (x^2 + y^2), tg ϕ = y / x.
Примеры вычисления аргумента
Для примера, рассмотрим число z = 5 * (1 + √3 * i). Выделим вещественную и мнимую части: z = 5 + 5√3i. Вещественная часть x = 5, мнимая часть y = 5√3. Вычислим модуль числа: |z| = √(25 + 75) = √100 = 10. Найдем синус угла ϕ: sin ϕ = 5 / 10 = 1 / 2. Отсюда получаем аргумент числа z равный 30°.
Еще один пример: число z = 5i. Угол ϕ = 90°. Запишем координаты числа на комплексной плоскости: z = {0, 5}. Модуль числа |z| = 5. Тангенс угла tg ϕ = 5 / 5 = 1. Следовательно, ϕ = 90°.
Также можно находить аргумент суммы двух комплексных чисел. Например, пусть даны числа z1 = 2 + 3i и z2 = 1 + 6i. Ответ: z = z1 + z2 = (2 + 1) + (3 + 6)i = 3 + 9i. Далее находим аргумент: tg ϕ = 9 / 3 = 3.
Дополнительная информация
Важно отметить, что если число z = 0, то значение его аргумента не определено. Кроме того, значение аргумента комплексного числа определяется с точностью до 2πk, где k – любое целое число. Главным значением аргумента считается значение ϕ такое, что –π < ϕ ≤ π.
