Как найти асимптоты графика функции
- Асимптоты: вертикальные и наклонные
- Нахождение вертикальных асимптот
- Примеры нахождения вертикальных асимптот
- Нахождение наклонных асимптот
- Пример нахождения наклонной асимптоты
- Асимптота и пересечение кривой
- Знак ^ обозначает возведение в степень.
Асимптоты: вертикальные и наклонные
Асимптоты – это прямые, к которым неограниченно приближается кривая графика функции при стремлении аргумента функции к бесконечности. Для построения графика функции необходимо найти все вертикальные и наклонные (горизонтальные) асимптоты, если они существуют.
Нахождение вертикальных асимптот
Для нахождения вертикальных асимптот функции y=f(x), необходимо определить область определения функции и выделить все точки a, в которых функция не определена. Затем необходимо вычислить пределы lim(f(x)) при x стремящемся к a, (a+0) или (a-0). Если хотя бы один из этих пределов равен +∞ или -∞, то вертикальной асимптотой будет прямая x=a. Вычислив два односторонних предела, можно определить поведение функции при приближении к асимптоте с разных сторон.
Примеры нахождения вертикальных асимптот
Рассмотрим функцию y=1/(x²-1). Вычислив пределы lim(1/(x²-1)) при x стремящемся к (1±0), (-1±0), мы получим, что функция имеет вертикальные асимптоты x=1 и x=-1, так как эти пределы равны +∞. Для функции y=cos(1/x) не существует вертикальной асимптоты x=0, так как область изменения функции косинус ограничена отрезком [-1; +1] и ее предел никогда не будет равен ±∞ при любых значениях x.
Нахождение наклонных асимптот
Для нахождения наклонных асимптот функции y=f(x) необходимо вычислить пределы k=lim(f(x)/x) и b=lim(f(x)-kx) при x стремящемся к +∞ или -∞. Если эти пределы существуют, то уравнение наклонной асимптоты будет иметь вид y=kx+b. Если k=0, то прямая y=b будет горизонтальной асимптотой.
Пример нахождения наклонной асимптоты
Рассмотрим функцию y=2x-(1/x). Вычислив предел k=lim((2x-(1/x))/x) при x стремящемся к +∞, мы получим k=2. Затем, вычислив предел b=lim(2x-(1/x)-2x) при x стремящемся к +∞, мы получим b=0. Таким образом, уравнение наклонной асимптоты данной функции будет иметь вид y=2x.
Асимптота и пересечение кривой
Важно отметить, что асимптота может пересекать кривую. Например, для функции y=x+e^(-x/3)×sin(x), предел lim(x+e^(-x/3)×sin(x)) при x стремящемся к +∞ равен 1, а предел lim(x+e^(-x/3)×sin(x)-x) при x стремящемся к +∞ равен 0. То есть асимптотой данной функции будет прямая y=x, которая пересекает график функции в нескольких точках, например, в точке x=0.
