Как найти базис
- Определение базиса пространства R^n
- Доказательство линейной независимости
- Выполнение линейных операций в пространстве R^n
- Линейная независимость системы векторов
Определение базиса пространства R^n
Способ доказательства открывается непосредственно из определения базиса. Любая упорядоченная система n линейно независимых векторов пространства R^n называется базисом этого пространства.
Доказательство линейной независимости
Инструкция 1: Найдите какой-нибудь короткий признак линейной независимости.
Теорема: Система из т векторов пространства R^n является линейно независимой тогда и только тогда, когда ранг матрицы, составленной из координат этих векторов равен т.
Доказательство: Используем определение линейной независимости, которое гласит, что образующие систему векторы линейно независимы (тогда и только тогда), если равенство нулю любой их линейной комбинации достижимо лишь при равенстве нулю всех коэффициентов этой комбинации. Далее см. рис. 1, где все написано наиболее подробно. На рис.1 в столбцах расположены наборы чисел xij, j=1, 2,…,n соответствующие вектору xi, i=1,…,m.
Выполнение линейных операций в пространстве R^n
Выполните действия по правилам линейных операций в пространстве R^n. Так как каждый вектор в R^n однозначно определяется упорядоченным набором чисел, приравняйте «координаты» равных векторов и получите систему n линейных однородных алгебраических уравнений с n неизвестными a1, a2,…, am (см. рис.2).
Линейная независимость системы векторов
Линейная независимость системы векторов (x1, x2,…, xm) в силу эквивалентных преобразований эквивалентна тому, что однородная система (рис. 2) имеет единственное нулевое решение. Совместная система тогда и только тогда имеет единственное решение, когда ранг матрицы (матрица системы составлена из координат векторов (x1, x2,...,xm) системы равен числу неизвестных, то есть n. Итак, для того чтобы обосновать тот факт, что векторы образуют базис, следует составить из их координат определитель и убедиться, что он не равен нулю.