Ответ на вопрос о выборе базиса линейного пространства можно посмотреть в первом приведенном источнике дополнительных сведений. В первую очередь следует запомнить, что универсального ответа нет. Систему векторовможно подобрать и затем доказать, что она пригодна к использованию в качестве базиса. Алгоритмически этого сделать нельзя. Поэтому самые известные базисы появлялись в науке не столь часто.
Произвольноелинейноепространствоне такбогато свойствами, как пространство R³.Помимо операций сложения векторов и умножения вектора на число в R³ можно производить измерения длин векторов, углов между ними, а также вычислять расстояния между объектами пространства, площади, объемы. Если на произвольное линейное пространство наложить дополнительную структуру(x,y)=x₁y₁+x₂y₂ +…+ xnyn, которая называется скалярным произведением векторов x и у, то оно будетназываться евклидовым (Е). Именно такие пространства и представляют практическую ценность.
Cледуя аналогиям пространства Е³, вводится понятие ортогональности в произвольном по размерности базисе. Если скалярное произведение векторов х и у (х,у)=0, то эти векторы ортогональны.
В С[a,b] (так обозначаетсяпространство непрерывных на [a,b] функций) скалярное произведениефункций вычисляется с помощью определенного интеграла отих произведения. Пи этом функции ортогональны на [a,b], если∫[a,b] φі(t)φј(t)dt=0,i≠j (формула дублирована на рис. 1а). Ортогональная система векторов является линейно независимой.
Введенные в рассмотрение функции приводят к линейным функциональным пространствам. Считайте их ортогональными. В общем случае такие пространства являются бесконечномерными. Рассмотрите разложение по ортогональному базису e₁(t), e₂(t),e₃(t), …вектора (функции)х(t) евклидова функционального пространства (см. рис. 1b). Для нахождения коэффициентов λ(координат вектора х), обе части первой на рис. 1b формулы были скалярно умножены на вектор еĸ.Они называются коэффициентами Фурье. Если окончательный ответ представить в виде выражения, приведенного на рис. 1в, то получится функциональный ряд Фурье по системе ортогональных функций.
Рассмотрите систему тригонометрических функций 1, sint, cost, sin2t, cos2t, …,sinnt, cosnt, … Убедитесь в том, что эта система ортогональна на [-π, π]. Это можно сделать простой проверкой. Поэтому в пространстве C[-π, π] тригонометрическая система функций является ортогональным базисом. Тригонометрический рядФурье составляет основу теории спектров радиотехнических сигналов.
