Как найти биссектрису прямого угла
- Нахождение биссектрисы прямого угла в прямоугольном треугольнике
- Нахождение биссектрисы с использованием отношений длин сторон
- Нахождение биссектрисы при известных катетах
Нахождение биссектрисы прямого угла в прямоугольном треугольнике
Один из углов прямоугольного треугольника прямой, то есть составляет 90⁰. Это упрощает работу с таким треугольником, так как существует множество закономерностей и теорем, позволяющих легко выражать одни величины через другие. Например, можно найти биссектрису прямого угла, опущенную на гипотенузу.
Нахождение биссектрисы с использованием отношений длин сторон
Чтобы найти биссектрису, нам понадобятся следующие данные: прямоугольный треугольник, известные длины катетов и гипотенузы, известные углы и одна из сторон, а также известные длины частей, на которые биссектриса делит гипотенузу.
В первую очередь, найдем гипотенузу. Пусть гипотенуза равна с. Биссектриса прямого угла делит гипотенузу на две, обозначим одну из них за х, а другую за с-х.
Можно поступить иначе и обозначить две части за х и у, с условием х+у=с, которое необходимо будет учесть при решении уравнения.
Воспользуемся следующей теоремой: отношение катетов и отношение прилежащих отрезков, на которые биссектриса делит гипотенузу, равны. То есть длина катетов разделенная друг на друга равна х/(с-х). Решим полученное уравнение и найдем х.
Можно также выразить катеты через гипотенузу и угол α. Катет прилежащий равен с*cosα, а противолежащий равен с*sinα. Получим уравнение х/(с-х)= с*cosα/ с*sinα. После упрощения, получим х=с*cosα/(sinα+cosα).
Узнав длины отрезков, на которые биссектриса прямого угла разделила гипотенузу, найдем длину самой гипотенузы при помощи теоремы синусов. Угол между катетом и биссектрисой известен - 45⁰, а две стороны внутреннего треугольника также известны.
Подставим данные в теорему синусов: х/sin45⁰=l/sinα. Упростив выражение, получим l=2xsinα/√2. Подставим найденное значение х: l=2c*cosα*sinα/√2(sinα+cosα)=c*sin2α/2cos(45⁰-α). Это и есть биссектриса прямого угла, выраженная через гипотенузу.
Нахождение биссектрисы при известных катетах
Если вам даны катеты, у вас есть два варианта: либо найдите длину гипотенузы по теореме Пифагора, согласно которой сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, и примените указанный выше метод. Либо воспользуйтесь готовой формулой: l=√2*ab/(a+b), где a и b – длины катетов.
Таким образом, нахождение биссектрисы прямого угла в прямоугольном треугольнике зависит от известных данных, таких как длины сторон и углов. При использовании соответствующих формул и теорем, можно легко выразить биссектрису через известные величины.
