Алгебраическое уравнение второй степени может иметь до двух корней. Их количество зависит от значения дискриминанта. Чтобы найти дискриминант квадратного уравнения, следует воспользоваться формулой, в которой задействованы все коэффициенты уравнения. Пусть задано квадратное уравнение вида а•х² + b•х + с = 0, где а, b, с – коэффициенты. Тогда дискриминант D = b² – 4•а•с.
Корни уравнения находятся следующим образом: х1 = (-b + √D)/2•а; х2 = (-b - √D)/2•а.
Дискриминант может принять любое значение: положительное, отрицательное или нулевое. В зависимости от этого, варьируется количество корней. Кроме того, они могут быть как вещественными, так и комплексными: 1. Если дискриминант больше нуля, то корней у уравнения два. 2. Дискриминант нулевой, значит, у уравнения есть только одно решение х = -b/2•а. В некоторых случаях применяют понятие кратных корней, т.е. в действительности их два, но у них общее значение. 3. При отрицательном значении дискриминанта говорят, что вещественных корней уравнение не имеет. Для того чтобы найти комплексные корни, вводится число i, квадрат которого равен -1. Тогда решение выглядит так:х1 = (-b + i•√D)/2•а; х2 = (-b – i•√D)/2•а.
Пример: 2•х² +5•х – 7 = 0.Решение:Найдите дискриминант:D = 25 + 56 = 81 > 0 → х1,2 = (-5 ± 9)/4;х1 = 1; х2 = -7/2.
Некоторые уравнения четных высших степеней могут быть приведены ко второй степени путем замены переменной или группировкой. Например, уравнение 6 степени может быть преобразовано в такой вид:а•(х³)² + b•(х³) + с = 0 х1,2 = ∛((-b + i•√D)/2•а).Тогда метод решения с помощью дискриминанта подходит и здесь, нужно лишь не забыть извлечь кубический корень на последнем этапе.
Существует также дискриминант для уравнений высоких степеней, например кубического многочлена вида а•х³ + b•х² + с•х + d = 0. В данном случае формула нахождения дискриминанта выглядит так: D = -4•а•с³ + b²•с² – 4•b³•d + 18•а•b•с•d – 27•а²•d².
