Как найти дисперсию случайной величины
Содержание:- Дисперсия и ее свойства
- Определения и обозначения
- Формулы для расчета дисперсии
- Свойства дисперсии
- Пример расчета дисперсии
Дисперсия и ее свойства
Дисперсия - это мера разброса значений случайной величины относительно ее среднего значения. Она показывает, насколько плотно сгруппированы значения вокруг среднего. Размерность дисперсии равна квадрату размерности случайной величины.
Определения и обозначения
Для рассмотрения дисперсии необходимо ввести некоторые обозначения. Математическое ожидание случайной величины обозначается как mx. Введено понятие центрированной случайной величины (Хц), которая равна разности между Х и mx. Дисперсия (Dх) - это математическое ожидание квадрата центрированной случайной величины.
Формулы для расчета дисперсии
Дисперсию можно вычислить по формуле Dx=M{(X- mx)^2}=D{X}=М{Xц^2}. Для дискретных случайных величин дисперсия вычисляется как сумма квадратов разностей между значениями и средним.
Свойства дисперсии
У дисперсии есть несколько свойств. Во-первых, дисперсия постоянной величины равна нулю. Во-вторых, дисперсия произведения константы и случайной величины равна квадрату этой константы, умноженному на дисперсию случайной величины. В-третьих, дисперсия может быть выражена через математическое ожидание квадрата случайной величины и квадрат среднего значения.
Пример расчета дисперсии
Дана плотность вероятности случайной величины Х. Необходимо найти ее дисперсию и среднеквадратическое отклонение (СКО).
Решение: Вычислим среднее значение mx, используя интеграл плотности вероятности. Затем, воспользовавшись формулой Dx= M{X^2}-(mx^2), вычислим дисперсию. СКО равно квадратному корню из дисперсии.