Классическая школьная формулировка теоремы Пифагора звучит так: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Таким образом, чтобы найти гипотенузу прямоугольного треугольника по двум катетам, надо поочередно возвести в квадрат длины катетов, сложить их и извлечь квадратный корень из результата. В изначальной своей формулировке теорема утверждала, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей двух квадратов, построенных на катетах. Однако современная алгебраическая формулировка не требует вводить понятие площади.
Пусть, например, дан прямоугольный треугольник, катеты которого равны 7 см и 8 см. Тогда, согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен 7²+8²=49+64=113 см². Сама гипотенуза равна корню квадратному из числа 113. Получилось иррациональное число, которое идет в ответ.
Если катеты треугольника равны 3 и 4, тогда гипотенуза равна √25=5. При извлечении квадратного корня получилось натуральное число. Числа 3, 4, 5 составляют пифагорову тройку, потому что они удовлетворяют соотношению x²+y²=z², будучи все натуральными. Другие примеры пифагоровой тройки: 6, 8, 10; 5, 12, 13; 15, 20, 25; 9, 40, 41.
В том случае если катеты равны между собой, тогда теорема Пифагора переходит в более простое уравнение. Пусть, к примеру, оба катета равны числу A, а гипотенуза обозначена за C. Тогда C²=A²+A², C²=2A², C=A√2. В этом случае не нужно возводить в квадрат число A.
Теорема Пифагора – частный случай более общей теоремы косинусов, которая устанавливает соотношение между тремя сторонами треугольника для произвольного угла между какими-либо двумя из них.
