Главная Войти О сайте

Как найти градиент

Как найти градиент

Содержание:
  1. Введение
  2. Обозначения и определение
  3. Полный дифференциал и производная по направлению
  4. Вычисление производной по направлению
  5. Градиент и производная по направлению
  6. Свойства градиента
  7. Заключение

Введение

Понятие градиента функции часто воспринимается как скалярное поле. В этой статье мы рассмотрим обозначения и свойства градиента, а также его связь с производными по направлениям.

Обозначения и определение

Пусть функция f задана тремя аргументами u=f(x, y, z). Частную производную функции по одному из аргументов можно определить, фиксируя остальные аргументы. Такая частная производная обозначается как дf/дх = u’x, аналогично для других аргументов.

Полный дифференциал и производная по направлению

Полный дифференциал функции f равен du=(дf/дх)dx+ (дf/дy)dy+(дf/дz)dz. Частные производные можно рассматривать как производные по направлениям координатных осей. Возникает вопрос о нахождении производной по направлению заданного вектора s в точке M(x, y, z).

Вычисление производной по направлению

Производная по направлению s в точке М может быть выражена как (дu/дs)|M=((дf/дх)|M)соs(альфа)+ ((дf/дy)|M) соs(бета) +((дf/дz)|M) соs(гамма), где s^o - единичный вектор-орт, определяющий направление s.

Градиент и производная по направлению

Если рассматривается скалярное поле, то градиент функции f, обозначаемый как gradf, является вектором, состоящим из частных производных f(x, y, z). Градиент можно записать, используя дифференциальный вектор-оператор Гамильтона набла. В этом случае (gradf, s^o)=0, если эти векторы ортогональны. Градиент также может быть определен как направление быстрейшего изменения скалярного поля.

Свойства градиента

Градиент функции f имеет свойства, аналогичные свойствам дифференцирования функций. Например, если f=uv, то gradf=(vgradu+u gradv).

Заключение

Градиент функции играет важную роль в анализе скалярных полей и их производных по направлениям. Он позволяет определить направление быстрейшего изменения скалярного поля и имеет свойства, аналогичные свойствам дифференцирования функций.


CompleteRepair.Ru