Главная Войти О сайте

Как найти интервал сходимости

Как найти интервал сходимости

Содержание:
  1. Степенные ряды: определение и применение
  2. Форма степенного ряда
  3. Область сходимости
  4. Определение радиуса сходимости
  5. Интервал сходимости

Степенные ряды: определение и применение

Степенной ряд – это частный случай функционального ряда, состоящего из степенных функций. Эти ряды широко используются в математике, так как при выполнении определенных условий они сходятся к заданным функциям и представляют наиболее удобный аналитический инструмент для их описания.

Форма степенного ряда

Степенной ряд имеет следующий вид: 0+c1(z-z0)+c2(z-z0)^2+…+cn(z-z0)^n+… (1). Если мы заменим x на z-z0, то ряд будет выглядеть так: c0+c1x+c2x^2+…+cn(x^n)+… (2).

Область сходимости

Ряды вида (2) более удобны для изучения. Очевидно, что любой степенной ряд сходится при x=0. Чтобы определить область сходимости ряда, можно использовать теорему Абеля. Согласно этой теореме, если ряд (2) сходится в точке x0≠0, то он сходится для всех x, удовлетворяющих неравенству |x|<|x0|.

Следовательно, если ряд расходится в некоторой точке x1, то он будет расходиться для всех x, где |x1|>|x|. Из графика на рисунке 1 можно понять, что все x1>x0. Поэтому, при их приближении, возникнет ситуация, когда x0=х1. В этом случае сходимость ряда при прохождении слипшихся точек (R и -R) меняется резко. Если графически изобразить R, то его длина будет равна числу R≥0. Это число называется радиусом сходимости степенного ряда (2). Интервал (-R,R) называется интервалом сходимости степенного ряда. Возможно, что R=+∞. Когда x=±R, ряд становится числовым, и его анализ проводится на основе свойств числовых рядов.

Определение радиуса сходимости

Чтобы определить радиус сходимости R, ряд анализируется на абсолютную сходимость. Для этого составляется ряд из абсолютных значений членов исходного ряда. Анализ проводится с использованием признаков Даламбера и Коши. В этих признаках определяются пределы, которые затем сравниваются с единицей. Размерность R достигается при x=R. При использовании признака Даламбера сначала определяется предел, представленный на рисунке 2а. Положительное значение x, при котором этот предел равен единице, будет радиусом R (см. рисунок 2b). При анализе ряда с использованием признака Коши, формула для вычисления R будет иметь вид, представленный на рисунке 2c.

Интервал сходимости

Формулы, представленные на рисунке 2, применяются при условии, что исследуемые пределы существуют. Для степенного ряда (1) интервал сходимости записывается как (z0-R, z0+R).


CompleteRepair.Ru