Как найти каноническое уравнение прямой
- Каноническое уравнение прямой в пространстве
- Пример
- Составление канонического уравнения прямой через две точки
- Пример
- Обратите внимание
- Полезный совет
Каноническое уравнение прямой в пространстве
Прямая является одним из основных понятий в геометрии. Одним из способов определить прямую является линия, вдоль которой расстояние между двумя точками является кратчайшим. Каноническое уравнение прямой в пространстве можно записать двумя способами.
Составление канонического уравнения прямой через точку и направляющий вектор
Если необходимо составить каноническое уравнение прямой, проходящей через некоторую точку M с координатами (Xm, Ym, Zm) и направляющим вектором a с координатами (r, s, t), следуйте следующим действиям.
1. Составьте систему параметрических уравнений прямой:
X = Xm + r * p
Y = Ym + s * p
Z = Zm + t * p
Где p – некоторый произвольный параметр.
2. Из системы параметрических уравнений выразите параметр p и получите каноническое уравнение прямой:
p = (X - Xm)/r = (Y - Ym)/s = (Z - Zm)/t
Пример
Допустим, дана прямая, проходящая через точку M (2, 5, 0) и заданная направляющим вектором a = (4, 4, 1). Параметрическое уравнение для данной прямой будет следующим:
(X – 2)/4 = (Y - 5)/4 = Z/1
Составление канонического уравнения прямой через две точки
Если необходимо найти каноническое уравнение прямой, проходящей через две точки A (Ax, Ay, Az) и B (Bx, By, Bz), можно использовать ту же систему параметрических уравнений, но для обеих точек.
1. X = Ax + r * p , Y = Ay + s * p, Z = Az + t * p
X = Bx + r * p , Y = By + s * p, Z = Bz + t * p
2. Выразите из первого уравнения первой системы параметр p: p = (X – Ax)/r.
3. Из первого уравнения второй системы выразите коэффициент r: r = (X - Bx)/p.
4. Подставьте значение для r в выражение для p: p = (X – Ax) * p/(X - Bx).
5. Проделайте подобные операции для всех уравнений системы. Сократив параметр p в числителе всех дробей, получите каноническое уравнение прямой, проходящей через две точки:
(X – Ax) /(X - Bx) = (Y – Ay) /(Y - By) = (Z – Az) /(Z - Bz)
Пример
Пусть прямая проходит через точки A(1, 2, 3) и B(4, 5, 6). Тогда параметрическое уравнение будет иметь следующий вид:
(X – 1) /(X – 4) = (Y – 2) /(Y - 5) = (Z – 3) /(Z - 6)
Обратите внимание
При составлении канонического уравнения прямой обязательно должно выполняться условие x^2 + y^2+ z^2 ≠ 0. То есть, координаты направляющего вектора не должны быть равны нулю одновременно.
Полезный совет
Так как параметрическое уравнение прямой является формальной записью, то выражение вида (X – Xm)/0 допустимо.
