Главная Войти О сайте

Как найти касательное уравнение

В учебнике 11 класса по алгебре учащиеся проходят тему производных. И вот в этом большом параграфе особое место уделено для выяснения, что же такое касательная к графику, и как найти и составить ее уравнение.Как найти касательное уравнение

Пускай даны функция y=f(x) и определенная точка М с координатами а и f(a). И пусть известно, что существует f'(a). Ссоставим уравнение касательной. Это уравнение, как уравнение любой другой прямой, которая не параллельна оси ординат, имеет вид y=kx+m, поэтому для его составления необходимо найти неизвестные k и m. С угловым коэффициентом все ясно. Если М принадлежит графику и если от нее можно провести касательную, не перпендикулярную к оси абсцисс, то угловой коэффициент k равен f'(a). Для вычисления неизвестного m используем то, что искомая прямая проходит через точку М. Следовательно, если подставить координаты точки в уравнение прямой, то получим верное равенство f(a)=ka+m. отсюда находим, что m=f(a)-ka. Осталось только подставить значения коэффициентов в уравнение прямой.

y=kx+m

y=kx+(f(a)-ka)

y=f(a)+f'(a)(x-a)

Из этого следует, что уравнение имеет вид y=f(a)+f'(a)(x-a).

Для того, чтобы найти уравнение касательной к графику используют определенный алгоритм. Во-первых, обозначьте х буквой а. Во-вторых, вычислите f(a). В третьих, найдите производную от х и вычислите f'(a). И наконец, подставьте найденные а, f(a) и f'(a) в формулу y=f(a)+f'(a)(x-a).

Для того, чтобы лучше понять, как использовать алгоритм, рассмотрите следующую задачу. Составьте уравнение касательной для функции y=1/x в точке х=1.
Для решения этой задачи воспользуйтесь алгоритмом составления уравнения. Но при этом учитывайте, что в данном примере дана функция f(x)=2-х-х3, а=0.

1. В условии задачи указано значение точки а;

2. Следовательно, f(a)=2-0-0=2;

3. f'(x)=0-1-3х=-1-3х; f'(a)=-1;

4. Подставьте найденные числа в уравнение касательной к графику:

y=f(a)+f'(a)(x-a)=2+(-1)(х-0)=2-х.

Ответ: y=2-х.


CompleteRepair.Ru