Как найти координаты проекций точек
Содержание:- Составление уравнения прямой через проекцию
- Шаг 1: Составление уравнения прямой
- Шаг 2: Нахождение точки пересечения
- Шаг 3: Вычисление координат проекции
Составление уравнения прямой через проекцию
Пара точек, одна из которых является проекцией другой на плоскость, позволяет составить уравнение прямой, если известно уравнение плоскости.
Шаг 1: Составление уравнения прямой
Необходимо рассмотреть прямую, проходящую через точку A₁(X₁;Y₁;Z₁), координаты которой известны из условий задачи, и ее проекцию на плоскость Aₒ(Xₒ;Yₒ;Zₒ), координаты которой нужно определить. Для того чтобы прямая была перпендикулярна плоскости, используется нормальный вектор, соответствующий уравнению плоскости a*X + b*Y + c*Z - d = 0, где ā = {a;b;c}. Исходя из вектора и координат точки, составляем канонические уравнения рассматриваемой прямой: (X-X₁)/a=(Y-Y₁)/b=(Z-Z₁)/c.
Шаг 2: Нахождение точки пересечения
Находим точку пересечения прямой с плоскостью, записывая полученные в предыдущем шаге уравнения в параметрической форме: X = a*t+X₁, Y = b*t+Y₁ и Z = c*t+Z₁. Затем подставляем эти выражения в уравнение плоскости, чтобы найти значение параметра tₒ, при котором прямая пересекает плоскость.
Шаг 3: Вычисление координат проекции
Подставляем полученное значение параметра tₒ в уравнения проекций на каждую координатную ось из предыдущего шага: Xₒ = a*tₒ+X₁, Yₒ = b*tₒ+Y₁ и Zₒ = c*tₒ+Z₁. Рассчитанные по этим формулам значения являются координатами точки проекции Aₒ(Xₒ;Yₒ;Zₒ).
Например, если исходная точка A₁ задана координатами (1;2;-1), а плоскость определена формулой 3*X-Y+2*Z-27 = 0, координаты проекции этой точки будут равны: Xₒ = 3*((27 - 3*1 - (-1*2) - 2*(-1))/(3² + (-1²) + 2²)) + 1 = 3*28/14 + 1 = 7, Yₒ = -1*((27 - 3*1 - (-1*2) - 2*(-1))/(3² + (-1²) + 2²)) + 2 = -1*28/14 + 2 = 0, Zₒ = 2*((27 - 3*1 - (-1*2) - 2*(-1))/(3² + (-1²) + 2²)) + (-1) = 2*28/14 - 1 = 3. Значит, координаты точки проекции Aₒ(7;0;3).