Главная Войти О сайте

Как найти координаты точек пересечения медиан

Из курса школьной геометрии известно, что медианы треугольника пересекаются в одной точке. Поэтому разговор следует вести о точке пересечения, а не о нескольких точках.Как найти координаты точек пересечения медиан

Сначала необходимо обговоритьвыбор удобной для решения задачи системы координат. Обычно в задачах такого рода одну из сторон треугольника помещают на оси 0Х так, чтобы одна точка совпадала с началом координат. Поэтому не стоит отходить от общепринятых канонов решения и сделать также (см. рис. 1). Способ задание самого треугольника не играет принципиальной роли, так как всегда можно перейти от одного из них к другому (в чем вы в дальнейшем сможете убедиться).

Пусть искомый треугольник задан двумя векторами его сторон АС и АВa(x1, y1) иb(x2, y2), соот-ветственно. Более того, по построению y1=0. Третья сторона ВС соответствует c=a-b, c(x1-x2,y1 -y2), согласно данной иллюстрации. Точка А помещена в начало координат, то есть ее координаты А(0, 0). Легко также заметить, что координаты В (x2, y2), a C (x1, 0). Отсюда можно сделать вывод, что задание треугольника двумя векторами автоматически совпало с его заданием тремя точками.

Далее следует достроить искомый треугольник до соответствующего ему по размерам параллелограмма ABDC. При этом известно, что в точке пересечения диагоналейпараллелограммаони делятся пополам, так, что АQмедиана треугольника АВС, опускается из А на сторону ВС.Вектор диагонали s содержит эту медиану и является, по правилу параллелограмма, геометрической суммой a и b. Тогда s = a + b, а его координаты s(x1+x2, y1+y2)= s(x1+x2, y2). Такие же координаты будут и у точки D(x1+x2, y2).

Теперь можно переходить к составлению уравнение прямой, содержащей s, медиану AQ и, са-мое главное, искомую точку пересечения медиан H. Так как сам вектор s является направляю-щим для данной прямой, а также известна точка А(0, 0), принадлежащая ей, то самое простое – это использовать уравнение плоской прямой в каноническом виде:(x-x0)/m=(y-y0)/n.Здесь (x0, y0) координаты произвольной точки прямой (точка А(0, 0)), а (m, n) – координаты s (вектор (x1+x2, y2). И так, искомая прямая l1 будет иметь вид:x/( x1+x2)=y/ y2.

Самый естественный способ нахождения координат точки – это определение ее в пересечении двух прямых. Поэтому следует найти еще одну прямую, содержащую т. Н. Для этого на рис. 1 выполнено построение еще одного параллелограмма АPBC, диагональ которого g=a+c =g(2x1-x2, -y2)содержит вторую медиану CW, опущенную из С на сторону АВ. Это диагональ содержит точкуС(x1, 0), координаты которой будут играть роль (x0, y0), а направляющий вектор здесь будет g(m, n)=g(2x1-x2, -y2). Отсюда l2 задается уравнением:(x-x1)/(2 x1-x2)=y/(- y2).

Решив совместно уравнения для l1 и l2, легко найти координаты точки пересечения медиан Н:Н((x1+x1)/3, y2/3).


CompleteRepair.Ru