Как найти координаты точки касания
- Анализ возможности проведения касательной
- Определение касательной к произвольной линии
- Одна точка пересечения
- Возможность провести касательную
- Уравнение касательной
- Коэффициент наклона касательной
- Касательная плоскость к поверхности
Анализ возможности проведения касательной
Прежде чем приступить к нахождению координат точки касания, необходимо проверить возможность проведения касательной. Для этого выполните анализ функции, описывающей заданную кривую на определенном участке.
Определение касательной к произвольной линии
Касательная к произвольной линии на плоскости в прямоугольной системе координат — это предел, к которому стремится секущая к данной кривой при максимальном сближении точек пересечения кривой и прямой.
Одна точка пересечения
Следовательно, касательная имеет только одну общую точку с кривой. Однако это утверждение справедливо для строго определенного участка. В зависимости от поведения кривой в других областях координатной плоскости, касательная может пересекать заданную линию или, наоборот, удаляться от нее.
Возможность провести касательную
К некоторым кривым можно провести касательную в любой точке. Примеры таких линий — окружность, эллипс. Другие непрерывные кривые могут иметь точки, в которых построить касательную невозможно. Это происходит на участках, где секущая не стремится к одному предельному положению.
Уравнение касательной
Пусть произвольная кривая описывается выражением Y=F(x). Общий вид уравнения прямой Y=kx+a. Очевидно, что в точке касания с координатами (Xo, Yо) справедливо равенство: F(Xo)=kXo+a.
Коэффициент наклона касательной
Если функция F(x) дифференцируема в точке Xo, в этой точке можно провести касательную к кривой, и коэффициент наклона касательной к оси OX равен значению производной функции: k=F'(Xo). Уравнение касательной в точке касания принимает вид Yo=F'(Xo)*Xo+a. Задача нахождения координат точки касания сводится к решению системы двух уравнений с двумя неизвестными Yo=F(Xo) и Yo= F'(Xo)*Xo+a.
Касательная плоскость к поверхности
Плоскость является касательной к поверхности, если имеет общую с поверхностью точку и прямую или плоскую кривую линию. Определение координат (Xo Yo Zo) общей точки касательной плоскости и заданной криволинейной поверхности Z=F(x,y) возможно в случае если функция F(x,y) имеет полный дифференциал в данной точке.
