Как найти критические точки функции
- Как найти критические точки функции
- Шаг 1: Определение области определения функции
- Шаг 2: Вычисление первой производной функции
- Шаг 3: Нахождение критических точек
- Шаг 4: Решение уравнения ƒ'(x)=0
- Пример
- Обратите внимание
- Знак ^ обозначает возведение в степень, знак ' – взятие производной.
Как найти критические точки функции
При построении графика функции необходимо определить точки максимума и минимума, промежутки монотонности функции. Чтобы ответить на эти вопросы первым делом нужно найти критические точки, то есть такие точки области определения функции, в которых производная не существует или равна нулю.
Шаг 1: Определение области определения функции
Найдите область определения D(x) функции y=ƒ(x), так как все исследования функции проводятся в том интервале, где функция имеет смысл. Если вы исследуете функцию на некотором промежутке (a; b), то проверьте, чтобы этот интервал принадлежал области определения D(x) функции ƒ(x). Проверьте функцию ƒ(x) на непрерывность в этом промежутке (a; b). То есть lim(ƒ(x)) при x стремящимся к каждой точке x0 из интервала (a; b) должен быть равен ƒ(x0). Также функция ƒ(x) должна быть дифференцируема на этом интервале за исключением возможно конечного числа точек.
Шаг 2: Вычисление первой производной функции
Вычислите первую производную ƒ'(x) функции ƒ(x). Для этого воспользуйтесь специальной таблицей производных элементарных функций и правилами дифференцирования.
Шаг 3: Нахождение критических точек
Найдите область определения производной ƒ'(x). Выпишите все точки, которые не попали в область определения функции ƒ'(x). Отберите из этого множества точек только те значения, которые принадлежат области определения D(x) функции ƒ(x). Это и будут критические точки функции ƒ(x).
Шаг 4: Решение уравнения ƒ'(x)=0
Найдите все решения уравнения ƒ'(x)=0. Выберите из этих решений только те значения, которые попадают в область определения D(x) функции ƒ(x). Эти точки также будут являться критическими точками функции ƒ(x).
Пример
Рассмотрим функцию ƒ(x)=2/3×x^3−2×x^2−1. Область определения этой функции вся числовая прямая. Найдите первую производную ƒ'(x)=(2/3×x^3−2×x^2−1)’=(2/3×x^3)’−(2×x^2)’=2×x^2−4×x. Производная ƒ'(x) определена при любом значении x. Тогда решите уравнение ƒ'(x)=0. В данном случае 2×x^2−4×x=2×x×(x−2)=0. Этому уравнению равносильна система из двух уравнений: 2×x=0, то есть x=0, и x−2=0, то есть x=2. Эти два решения принадлежат области определения функции ƒ(x). Таким образом, у функции ƒ(x)=2/3×x^3−2×x^2−1 существует две критические точки x=0 и x=2.