Вам понадобитсяНайдите область определения D(x) функции y=ƒ(x), так как все исследования функции проводятся в том интервале, где функция имеет смысл. Если вы исследуете функцию на некотором промежутке (a; b), то проверьте, чтобы этот интервал принадлежал области определения D(x) функции ƒ(x). Проверьте функцию ƒ(x) на непрерывность в этом промежутке (a; b). То есть lim(ƒ(x)) при x стремящимся к каждой точке x0 из интервала (a; b) должен быть равен ƒ(x0). Также функция ƒ(x) должна быть дифференцируема на этом интервале за исключением возможно конечного числа точек.
Вычислите первую производную ƒ'(x) функции ƒ(x). Для этого воспользуйтесь специальной таблицей производных элементарных функций и правилами дифференцирования.
Найдите область определения производной ƒ'(x). Выпишите все точки, которые не попали в область определения функции ƒ'(x). Отберите из этого множества точек только те значения, которые принадлежат области определения D(x) функции ƒ(x). Это и будут критические точки функции ƒ(x).
Отыщите все решения уравнения ƒ'(x)=0. Выберите из этих решений только те значения, которые попадают в область определения D(x) функции ƒ(x). Эти точки так же будут являться критическими точками функции ƒ(x).
Рассмотрите пример. Пусть дана функция ƒ(x)=2/3×x^3−2×x^2−1. Область определения этой функции вся числовая прямая. Найдите первую производную ƒ'(x)=(2/3×x^3−2×x^2−1)’=(2/3×x^3)’−(2×x^2)’=2×x^2−4×x. Производная ƒ'(x) определена при любом значении x. Тогда решите уравнение ƒ'(x)=0. В данном случае 2×x^2−4×x=2×x×(x−2)=0. Этому уравнению равносильна система из двух уравнений: 2×x=0, то есть x=0, и x−2=0, то есть x=2. Эти два решения принадлежат области определения функции ƒ(x). Таким образом, у функции ƒ(x)=2/3×x^3−2×x^2−1 существует две критические точки x=0 и x=2.
