Как найти кривую второго порядка
- Кривая второго порядка
- Приведение уравнения каноничному виду
- Вычисление инвариантов
- Определение вырожденности кривой
- Определение симметрии кривой
- Вычисление S и B
- Определение типа кривой
- Выбор типа кривой
- Пример решения
Кривая второго порядка
Кривая второго порядка - это геометрическое место точек, удовлетворяющих уравнению ax²+fy²+2bxy+2cx+2gy+k=0, в котором x, y переменные, a, b, c, f, g, k - коэффициенты, и a²+b²+c² отлично от нуля.
Приведение уравнения каноничному виду
Инструкция 1 Приведите уравнение кривой к каноничному виду. Рассмотрите канонический вид уравнения для различных кривых второго порядка: парабола y²=2px; гипербола x²/q²-y²/h²=1; эллипс x²/q²+y²/h²=1; две пересекающиеся прямые x²/q²-y²/h²=0; точка x²/q²+y²/h²=0; две параллельные прямые x²/q²=1, одна прямая x²=0; мнимый эллипс x²/q²+y²/h²=-1.
Вычисление инвариантов
Инструкция 2 Вычислите инварианты: Δ, D, S, B. Для кривой второго порядка Δ определяет, является ли кривая истинной - невырожденной или предельным случаем одной из истинных - вырожденной. D определяет симметрию кривой.
Определение вырожденности кривой
Инструкция 3 Определите, является ли кривая вырожденной. Вычислите Δ. Δ=afk-agg-bbk+bgc+cbg-cfc. Если Δ=0, то кривая вырожденная, если Δ не равен нулю, то невырожденная.
Определение симметрии кривой
Инструкция 4 Выясните характер симметрии кривой. Вычислите D. D=a*f-b². Если он не равен нулю, то кривая имеет центр симметрии, если равен, то, соответственно, не имеет.
Вычисление S и B
Инструкция 5 Вычислите S и B. S=a+f. Инвариант В равен сумме двух квадратных матриц: первая со столбцами a, c и c, k, вторая со столбцами f, g и g, k.
Определение типа кривой
Инструкция 6 Определите тип кривой. Рассмотрите вырожденные кривые, когда Δ=0. Если D>0, то это точка. Если D<0, то это мнимая точка. Если D=0 и S>0, то это парабола. Если D=0 и S<0, то это парабола. Если D>0 и S<0, то это гипербола. Если D>0 и S>0, то это эллипс.
Выбор типа кривой
Инструкция 8 Выберите тип кривой второго порядка, который вам подходит. Приведите исходное уравнение, если требуется, к каноническому виду.
Пример решения
Инструкция 9 Рассмотрите для примера уравнение y²-6x=0. Получите коэффициенты, исходя из уравнения ax²+fy²+2bxy+2cx+2gy+k=0. Коэффициенты f=1, c=3, а остальные коэффициенты a, b, g, k равны нулю.
Инструкция 10 Вычислите величины Δ и D. Получите Δ=-3*1*3=-9, а D=0. Это значит, что кривая невырожденная, так как Δ не равен нулю. Поскольку D=0, то кривая не имеет центра симметрии. По совокупности признаков, уравнение является параболой. y²=6x.
