Как найти логарифм

Логарифмом числа x по основанию a называется такое число y, что a^y = x. Поскольку логарифмы облегчают очень многие практические вычисления, важно уметь ими пользоваться.

Логарифм числа x по основанию a будем обозначать loga(x). Например, log2(8) — логарифм числа 8 по основанию 2. Он равен 3, потому что 2^3 = 8.

Логарифм определен только для положительных чисел. Отрицательные числа и ноль не имеют логарифмов вне зависимости от основания. При этом сам логарифм может быть любым числом.

Основанием логарифма может служить любое положительное число, кроме единицы. Однако на практике чаще всего используются два основания. Логарифмы по основанию 10 называются десятичными и обозначаются lg(x). Десятичные логарифмы чаще всего встречаются в практических вычислениях.

Второе популярное основание для логарифмов — иррациональное трансцендентное число e = 2,71828… Логарифм по основанию e называется натуральным и обозначается ln(x). Функции e^x и ln(x) обладают особыми свойствами, важными для дифференциального и интегрального исчисления, поэтому натуральные логарифмы чаще используются в математическом анализе.

Логарифм произведения двух чисел равен сумме логарифмов этих чисел по тому же основанию: loga(x*y) = loga(x) + loga(y). Например, log2(256) = log2(32) + log2(8) = 8.Логарифм частного двух чисел равен разности их логарифмов: loga(x/y) = loga(x) - loga(y).

Чтобы найти логарифм числа, возведенного в степень, нужно логарифм самого числа умножить на показатель степени: loga(x^n) = n*loga(x). При этом показатель степени может быть любым числом — положительным, отрицательным, нулем, целым или дробным.Поскольку x^0 = 1 для любого x, то loga(1) = 0 для любого a.

Логарифм заменяет умножение сложением, возведение в степень умножением, а извлечение корня делением. Поэтому в отсутствие вычислительной техники логарифмические таблицы заметно упрощают расчеты.Чтобы найти логарифм числа, не входящего в таблицу, его нужно представить в виде произведения двух или более чисел, логарифмы которых есть в таблице, и найти окончательный результат, сложив эти логарифмы.

Достаточно простой способ вычислить натуральный логарифм — воспользоваться разложением этой функции в степенной ряд:ln(1 + x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*((x^n)/n).Этот ряд дает значения ln(1 + x) для -1 < x ≤1. Иными словами, так можно вычислить натуральные логарифмы чисел от 0 (но не включая 0) до 2. Натуральные логарифмы чисел за пределами этого ряда можно найти путем суммирования найденных, пользуясь тем, что логарифм произведения равен сумме логарифмов. В частности ln(2x) = ln(x) + ln (2).

Для практических вычислений иногда бывает удобно перейти от натуральных логарифмов к десятичным. Любой переход от одного основания логарифмов к другому совершается по формуле:logb(x) = loga(x)/loga(b).Таким образом, log10(x) = ln(x)/ln(10).