Главная Войти О сайте

Как найти матрицу, обратную данной

Как найти матрицу, обратную данной

Содержание:
  1. Обратная матрица и ее определение
  2. Метод Гаусса для нахождения обратной матрицы
  3. Наглядный пример нахождения обратной матрицы

Обратная матрица и ее определение

Обратная матрица обозначается А^(-1) и существует для каждой невырожденной квадратной матрицы А, у которой определитель |A| не равен нулю. Определяющее равенство (А^(-1))А=А и А^(-1)=Е, где Е - единичная матрица.

Метод Гаусса для нахождения обратной матрицы

Для нахождения обратной матрицы можно использовать метод Гаусса. Для этого потребуется бумага и ручка. Алгоритм метода Гаусса следующий:
1. Записывается исходная матрица А, к которой справа добавляется расширение, состоящее из единичной матрицы.
2. Выполняется последовательное эквивалентное преобразование строк матрицы А до получения единичной матрицы слева.
3. Матрица, полученная на месте расширенной матрицы, будет являться обратной матрицей А.

Наглядный пример нахождения обратной матрицы

Для наглядности рассмотрим пример нахождения обратной матрицы. Дана матрица А (см. рис.1) и требуется найти обратную матрицу.
1. Умножим все элементы первой строки на 2 и вычтем полученный результат из соответствующих элементов второй строки.
2. Разделим полученную строку на 3 и запишем значения в новую матрицу во вторую строку.
3. Проведем аналогичные преобразования для получения "0" на пересечении третьей строки и первого столбца.
4. Вычтем вторую строку из третьей и разделим полученные значения на 2.
5. Продолжим преобразования, чтобы получить "0" на пересечении второй строки и третьего столбца.
6. Умножим третью строку на 3 и прибавим полученные значения к элементам первой строки.
7. Обратная матрица А^(-1) будет находиться на месте расширения справа (см. рис.3).

Таким образом, метод Гаусса позволяет находить обратную матрицу для невырожденной квадратной матрицы А. Применение данного метода требует некоторой практики, но со временем можно выполнять большую часть действий в уме.


CompleteRepair.Ru