Как найти меньшую высоту треугольника
- Связь между сторонами и высотами треугольника
- Нахождение наименьшей высоты треугольника
- Нахождение высоты ha
- Определение наименьшей высоты треугольника
- Вычисление наименьшей высоты через синус угла
Связь между сторонами и высотами треугольника
В треугольнике зависимости между сторонами и углами жестко связывают и внутренние линии фигуры - высоты, медианы и биссектрисы. Знание этих соотношений существенно упрощает решение задач.
Нахождение наименьшей высоты треугольника
Из трех высот треугольника наименьшей будет та, которая опущена на самую большую из сторон фигуры. Чтобы убедиться в этом, выразим все три высоты треугольника через размеры его сторон и сравним.
Инструкция 1: Из трех сторон a, b, c произвольного остроугольного треугольника сторона а — наибольшая, сторона с — наименьшая. Обозначим ha высоту, опущенную на сторону а, hb высоту, проведенную к стороне b, hc — высоту на сторону с. Высота делит любой треугольник на два прямоугольных треугольника, в которых эта высота всегда будет одним из катетов.
Нахождение высоты ha
Высота ha, проведенная к наибольшей стороне а, может быть определена по теореме Пифагора: hа²= b² - а₁² или hа²=с² - а₂². Где а₁ и а₂ — отрезки, на которые сторона а разделена высотой ha. Также по теореме Пифагора выражаются две другие высоты треугольника через его стороны: hb ²= a²-b₁² или hb²= c²-b₂²; hc²=a²-c₁² или hc²=b²-c₂².
Определение наименьшей высоты треугольника
Из сравнения формул, определяющих высоты треугольника, очевидно, что соотношение между уменьшаемым и вычитаемым дает наименьшую разность в выражениях hа²= b² - а₁² и hа²=с²-а₂², поскольку вычитаемые а₁ и а₂ — отрезки наибольшей стороны треугольника.
Вычисление наименьшей высоты через синус угла
Определить меньшую высоту треугольника можно также через синус известного угла треугольника. Если по условию задан наибольший из углов, то этот угол лежит против наибольшей стороны, и именно из него проведена наименьшая высота.
Чтобы избежать громоздких вычислений, лучше выразить искомую высоту через тригонометрические функции двух других углов треугольника, поскольку отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла — величина для данного треугольника постоянная. Следовательно, наименьшая высота треугольника ha=b*SinB или ha=c*SinC, где В - угол между наибольшей стороной а и стороной b, а С — угол между наибольшей стороной а и стороной c треугольника.