Как найти наименьший период функции
- Периодические функции: определение и поиск наименьшего периода
- Как найти наименьший период функции
- Шаг 1: Замена значений х на (х+Т)
- Шаг 2: Подбор минимального периода из полученного тождества
- Шаг 3: Определение непериодичности функции
- Шаг 4: Правило для определения периода функции
- Шаг 5: Уменьшение периода при возведении sin или cos в четную степень
- Шаг 6: Учет умножения угла под знаком тригонометрической функции
- Шаг 7: Увеличение периода при наличии дробного числа перед х
- Шаг 8: Объединение двух периодических функций
Периодические функции: определение и поиск наименьшего периода
Функция, значения которой повторяются через определенное число, называется периодической. То есть сколько бы периодов вы ни прибавили к значению х, функция будет равна одному и тому же числу. Изучение периодических функций начинается с поиска наименьшего периода, чтобы избежать лишней работы.
Как найти наименьший период функции
Шаг 1: Замена значений х на (х+Т)
Для начала, воспользуйтесь определением периодической функции. Замените все значения х в функции на (х+Т), где Т - наименьший период функции. Решите полученное уравнение, считая Т неизвестным числом.
Шаг 2: Подбор минимального периода из полученного тождества
В результате решения уравнения получите некое тождество. Попробуйте подобрать минимальный период, исходя из этого тождества. Например, если получилось равенство sin(2T)=0,5, следовательно, 2Т=П/6, что означает, что Т=П/12.
Шаг 3: Определение непериодичности функции
Если равенство получается верным только при Т=0 или параметр Т зависит от х (например, получилось равенство 2Т=х), делайте вывод о том, что функция не является периодической.
Шаг 4: Правило для определения периода функции
Чтобы найти наименьший период функции, содержащей только одно тригонометрическое выражение, воспользуйтесь следующим правилом. Если в выражении стоит sin или cos, периодом функции будет 2П, а для функций tg, ctg - наименьший период П. Учтите, что функция не должна быть возведена в степень, и переменная под знаком функции не должна быть умножена на число, отличное от 1.
Шаг 5: Уменьшение периода при возведении sin или cos в четную степень
Если cos или sin внутри функции возведены в четную степень, уменьшите период 2П в два раза. Графически это можно представить так: график функции, расположенный ниже оси ох, симметрично отразится вверх, поэтому функция будет повторяться в два раза чаще.
Шаг 6: Учет умножения угла под знаком тригонометрической функции
Чтобы найти наименьший период функции, когда угол х умножен на какое-либо число, определите стандартный период этой функции (например, для cos это 2П). Затем разделите его на множитель перед переменной. Это и будет искомый наименьший период. Уменьшение периода можно наглядно увидеть на графике: он сжимается ровно в столько раз, на сколько умножен угол под знаком тригонометрической функции.
Шаг 7: Увеличение периода при наличии дробного числа перед х
Обратите внимание, что если перед х стоит дробное число меньше 1, период увеличивается, то есть график, напротив, растягивается.
Шаг 8: Объединение двух периодических функций
Если в вашем выражении две периодические функции умножены друг на друга, найдите наименьший период для каждой по отдельности. Затем определите наименьший общий множитель для них. Например, для периодов П и 2/3П наименьший общий множитель будет 3П (он делится без остатка как на П, так и на 2/3П).
Надеемся, что эти шаги помогут вам определить наименьший период функции и изучить ее свойства на отрезке, равном этому периоду.
