Как найти наклонную асимптоту
- Асимптоты функций: вертикальные, наклонные и горизонтальные
- Вертикальные и наклонные асимптоты
- Вертикальные асимптоты
- Наклонные асимптоты
- Уравнение наклонной асимптоты
- Вычисление констант наклонной асимптоты
- Пример вычисления наклонной асимптоты
Асимптоты функций: вертикальные, наклонные и горизонтальные
Асимптота функции — линия, к которой неограниченно приближается график этой функции. В широком смысле асимптотическая линия может быть и криволинейной, однако чаще всего этим словом обозначают прямые линии.
Вертикальные и наклонные асимптоты
Если заданная функция имеет асимптоты, то они могут быть вертикальными или наклонными. Существуют также горизонтальные асимптоты, являющиеся частным случаем наклонных.
Вертикальные асимптоты
Если функция не определена в некоторой точке x₀ и по мере приближения x к x₀ слева или справа функция f(x) стремится к бесконечности, то в этой точке функция имеет вертикальную асимптоту. Например, функции 1/x и ln(x) имеют вертикальную асимптоту в точке x = 0, так как 1/x стремится к бесконечности, а ln(x) стремится к отрицательной бесконечности при x → 0.
Наклонные асимптоты
Наклонная асимптота — прямая, к которой неограниченно стремится график функции f(x) по мере того, как x неограниченно возрастает или убывает. Функция может иметь и вертикальные, и наклонные асимптоты. В практических целях различают наклонные асимптоты при x → ∞ и при x → -∞. В ряде случаев функция может стремиться к одной и той же асимптоте в обе стороны, но, вообще говоря, они не обязаны совпадать.
Уравнение наклонной асимптоты
Наклонная асимптота имеет уравнение вида y = kx + b, где k и b — константы. Прямая будет наклонной асимптотой функции при x → ∞, если по мере стремления x к бесконечности разность f(x) - (kx+b) стремится к нулю. Аналогично, если эта разность стремится к нулю при x → -∞, то прямая kx + b будет наклонной асимптотой функции в этом направлении.
Вычисление констант наклонной асимптоты
Чтобы понять, имеет ли заданная функция наклонную асимптоту и найти ее уравнение, нужно вычислить константы k и b. Метод вычисления не меняется от того, в каком направлении вы ищете асимптоту. Константа k, также называемая угловым коэффициентом наклонной асимптоты, является пределом отношения f(x)/x при x → ∞. Если коэффициент k получается нулевым, это значит, что наклонная асимптота заданной функции горизонтальна, и ее уравнение y = b.
Пример вычисления наклонной асимптоты
Для примера рассмотрим функцию f(x) = 1/x + x. Отношение f(x)/x в этом случае равно 1 + 1/(x^2). Его предел при x → ∞ равен 1. Таким образом, заданная функция имеет наклонную асимптоту с угловым коэффициентом 1. Чтобы найти константу b, понадобится вычислить предел разности f(x) - kx. В нашем случае эта разность равна (1/x + x) - x = 1/x. При x → ∞ предел 1/x равен нулю. Таким образом, b = 0. Окончательный вывод состоит в том, что функция 1/x + x имеет наклонную асимптоту в направлении плюс бесконечности, уравнение которой y = x. Тем же способом легко доказать, что эта же прямая является наклонной асимптотой заданной функции и в направлении минус бесконечности.
