Приступая к решению поставленной задачи, следует помнить, что нормаль к поверхности определяется как нормаль к касательной плоскости. Исходя именно из этого и будет выбираться методика решения.
График функции двух переменныхz=f(x, y)=z(x, y) – это поверхность в пространстве. Таким образом ее чаще всего и задают. В первую очередь необходимо найти касательную плоскость к поверхности в некоторой точке М0(x0, y0, z0), где z0=z(x0, y0).
Для этого следует вспомнить, что геометрический смысл производной функции одного аргумента, этоугловой коэффициент касательной к графику функции в точке, где y0=f(x0). Частные производные функции двух аргументов находят,фиксируя «лишний» аргумент точно так же, каки производные обычных функций.Значит геометрический смысл частной производной по x функции z=z(x, y) в точке (x0,y0) состоит в равенстве ее углового коэффициента касательной, к кривой, образуемой пересечением поверхности и плоскости y=y0 (см. рис. 1).
Данные, отраженные на рис. 1, позволяют заключить, чтоуравнение касательной к поверхности z=z(x, y), содержащей точку М0(xo, y0, z0)в сечении при y=y0:m(x-x0)=(z-z0), y=y0. В каноническом виде можно записать:(x-x0)/(1/m)=(z-z0)/1, y=y0. Значит направляющий этой касательной s1(1/m, 0, 1).
Теперь, если угловой коэффициент касательно для частной производной по y обозначить n, то совершенно очевидно, чтоаналогично предыдущему выражению, это приведет к(y-y0)/(1/n)=(z-z0), x=x0 и s2(0, 1/n, 1).
Далее продвижение решения в виде поиска уравнения касательной плоскости можно прекратить и перейти непосредственно к искомой нормали n. Ее можно получить как векторное произведение n=[s1, s2]. Вычислив его, будет определено, что в заданной точке поверхности (x0, y0, z0).n={-1/n, -1/m, 1/mn}.
Так как любой пропорциональный вектор также останется вектором нормали, удобнее всего ответ представить в виде n={-n, -m, 1} и окончательно n(дz/дx, дz/дx, -1).
