Понятие нормы универсально для любой матрицы, квадратной или неквадратной, матрицы-столбца или строки, размерность также может быть любой. Эта характеристику используют в качестве оценочной величины для анализа изменяемости матрицы в каком-либо расчетном процессе или совокупности нескольких матриц.
Можно сказать, что норма является показателем «мощности» матрицы. Она обозначается ‖A‖ и равна действительному числу, которое должно соответствовать определенному набору условий:‖А‖ ≥ 0, причем равенство нулю выполняется только для нулевой матрицы;‖а•А‖ = ‖а‖•‖А‖, где а принадлежит множеству рациональных чисел;‖А+В‖ ≤ ‖А‖ + ‖В‖ - коммутативность.
Норма, для которой выполняется также свойство ‖А•В‖ ≤ ‖А‖ • ‖В‖, называется мультипликативной. Существует три вида норм: бесконечная, первая и евклидова. Все они являются каноническими, т.е. их значения не меньше по модулю любого матричного элемента. На практике обычно вычисляют только один из видов, этого достаточно для объективной оценки.
Чтобы найти норму матрицы, нужно воспользоваться одним из ниже приведенных способов для каждого вида. Все они основаны на расчете суммы элементов матрицы, но каждый подразумевает собственный алгоритм.
Для расчета бесконечной нормы просуммируйте по модулю значения элементов отдельно по каждой строке и выберите из них максимальное:‖A‖_1 = mах_i Σ_j |а_ij|.
Найдите первую норму, поступив аналогично с элементами по каждому столбцу:‖A‖_2 = mах_j Σ_i |а_ij|.
Расчет евклидовой нормы подразумевает три действия: возведение каждого элемента в квадрат, суммирование и извлечение квадратной корня из общего результата:‖A‖_3 = √Σа²_ij.
Пример: вычислите все виды норм для данной матрицы.
Решениеa11+a12=11; a21+a22=12; a31+a32=5 → ‖А‖_1 = 12;a11+a21+a31=12; a12+a22+32=16 → ‖А‖_2 = 16;‖А‖_3 = √(25+36+9+81+16+1) = √168 ≈ 13.
