Как найти площадь криволинейной трапеции
Содержание:- Определение площади криволинейной трапеции
- Инструкция по вычислению площади
- Пример I: вычисление площади криволинейной трапеции
- Найдем первообразную для данной функции: F(x)=3/2x²-1/3x³.
- Находим еще несколько контрольных точек и изображаем график функции.
- Пример II: вычисление площади фигуры
- Рассмотрим другой пример с функциями y=x² и y=4x.
- Находим контрольные точки и изображаем графики заданных функций.
- Итак, площадь искомой фигуры S равна S¹–S² =32–64/3=32/3.
Определение площади криволинейной трапеции
Криволинейная трапеция представляет собой фигуру, ограниченную графиком неотрицательной и непрерывной функции f на промежутке [a; b], осью OX и прямыми x=a и x=b. Для вычисления ее площади используется формула: S=F(b)–F(a), где F – первообразная для f.
Инструкция по вычислению площади
Чтобы определить площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x), необходимо выполнить следующие шаги:
- Найти первообразную F для заданной функции f.
- Построить криволинейную трапецию.
- Найти несколько контрольных точек для функции f и вычислить координаты их пересечения с осью OX, если они имеются.
- Изобразить графически заданные линии и заштриховать искомую фигуру.
- Найти x=a и x=b.
- Вычислить площадь криволинейной трапеции, используя формулу S=F(b)–F(a).
Пример I: вычисление площади криволинейной трапеции
Для иллюстрации процесса вычисления площади криволинейной трапеции рассмотрим пример с функцией y=3x-x².
Найдем первообразную для данной функции: F(x)=3/2x²-1/3x³.
График функции y=3x-x² представляет собой параболу с ветвями, направленными вниз.
Находим точки пересечения данной кривой с осью OX, решая уравнение 3x-x²=0. Получаем x=0 и x=3. Искомые точки пересечения – (0; 0) и (3; 0). Таким образом, a=0 и b=3.
Находим еще несколько контрольных точек и изображаем график функции.
Вычисляем площадь заданной фигуры по формуле: S=F(b)–F(a)=F(3)–F(0)=27/2–27/3–0+0=13,5–9=4,5.
Пример II: вычисление площади фигуры
Рассмотрим другой пример с функциями y=x² и y=4x.
Находим первообразные для данных функций: F(x)=1/3x³ для функции y=x² и G(x)=2x² для функции y=4x.
С помощью системы уравнений находим координаты точек пересечения параболы y=x² и линейной функции y=4x. Решая систему, получаем две точки пересечения – (0;0) и (4;16).
Находим контрольные точки и изображаем графики заданных функций.
Замечаем, что искомая площадь равна разности площадей двух фигур: треугольника, образованного прямыми y=4x, y=0, x=0 и x=16, и криволинейной трапеции, ограниченной линиями y=x², y=0, x=0 и x=16.
Вычисляем площади данных фигур по формулам: S¹=G(b)–G(a)=G(4)–G(0)=32–0=32 и S²=F(b)–F(a)=F(4)–F(0)=64/3–0=64/3.