Главная Войти О сайте

Как найти площадь криволинейной трапеции

Как найти площадь криволинейной трапеции

Содержание:
  1. Определение площади криволинейной трапеции
  2. Инструкция по вычислению площади
  3. Пример I: вычисление площади криволинейной трапеции
  4. Найдем первообразную для данной функции: F(x)=3/2x²-1/3x³.
  5. Находим еще несколько контрольных точек и изображаем график функции.
  6. Пример II: вычисление площади фигуры
  7. Рассмотрим другой пример с функциями y=x² и y=4x.
  8. Находим контрольные точки и изображаем графики заданных функций.
  9. Итак, площадь искомой фигуры S равна S¹–S² =32–64/3=32/3.

Определение площади криволинейной трапеции

Криволинейная трапеция представляет собой фигуру, ограниченную графиком неотрицательной и непрерывной функции f на промежутке [a; b], осью OX и прямыми x=a и x=b. Для вычисления ее площади используется формула: S=F(b)–F(a), где F – первообразная для f.

Инструкция по вычислению площади

Чтобы определить площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x), необходимо выполнить следующие шаги:


  1. Найти первообразную F для заданной функции f.

  2. Построить криволинейную трапецию.

  3. Найти несколько контрольных точек для функции f и вычислить координаты их пересечения с осью OX, если они имеются.

  4. Изобразить графически заданные линии и заштриховать искомую фигуру.

  5. Найти x=a и x=b.

  6. Вычислить площадь криволинейной трапеции, используя формулу S=F(b)–F(a).

Пример I: вычисление площади криволинейной трапеции

Для иллюстрации процесса вычисления площади криволинейной трапеции рассмотрим пример с функцией y=3x-x².

Найдем первообразную для данной функции: F(x)=3/2x²-1/3x³.

График функции y=3x-x² представляет собой параболу с ветвями, направленными вниз.

Находим точки пересечения данной кривой с осью OX, решая уравнение 3x-x²=0. Получаем x=0 и x=3. Искомые точки пересечения – (0; 0) и (3; 0). Таким образом, a=0 и b=3.

Находим еще несколько контрольных точек и изображаем график функции.

Вычисляем площадь заданной фигуры по формуле: S=F(b)–F(a)=F(3)–F(0)=27/2–27/3–0+0=13,5–9=4,5.

Пример II: вычисление площади фигуры

Рассмотрим другой пример с функциями y=x² и y=4x.

Находим первообразные для данных функций: F(x)=1/3x³ для функции y=x² и G(x)=2x² для функции y=4x.

С помощью системы уравнений находим координаты точек пересечения параболы y=x² и линейной функции y=4x. Решая систему, получаем две точки пересечения – (0;0) и (4;16).

Находим контрольные точки и изображаем графики заданных функций.

Замечаем, что искомая площадь равна разности площадей двух фигур: треугольника, образованного прямыми y=4x, y=0, x=0 и x=16, и криволинейной трапеции, ограниченной линиями y=x², y=0, x=0 и x=16.

Вычисляем площади данных фигур по формулам: S¹=G(b)–G(a)=G(4)–G(0)=32–0=32 и S²=F(b)–F(a)=F(4)–F(0)=64/3–0=64/3.

Итак, площадь искомой фигуры S равна S¹–S² =32–64/3=32/3.


CompleteRepair.Ru