Как найти площадь параллелограмма, построенного на векторах

Содержание:

1. Вычисление площади параллелограмма на основе векторов
2. Известные длины векторов и угол между ними
3. Векторы заданы в декартовой системе координат
4. Координаты векторов заданы на плоскости

Вычисление площади параллелограмма на основе векторов

Площадь параллелограмма, построенного на векторах, можно вычислить, умножив длины этих векторов на синус угла между ними. Если вам известны только координаты векторов, для вычисления площади необходимо использовать координатные методы, включая определение угла между векторами.

Известные длины векторов и угол между ними

Если вам известны длины векторов и угол между ними, чтобы найти площадь параллелограмма, построенного на этих векторах, необходимо умножить их модули (длины векторов) на синус угла между ними. Формула для вычисления площади будет следующей: S = │a│•│b│•sin(α).

Векторы заданы в декартовой системе координат

Если векторы заданы в декартовой системе координат, для вычисления площади параллелограмма, построенного на них, необходимо выполнить следующие действия:

1. Найдите координаты векторов, если они не заданы непосредственно, вычитая координаты начальной точки вектора из соответствующих координат конечной точки вектора. Например, если координаты начальной точки вектора (1;-3;2), а конечной точки (2;-4;-5), то координаты вектора будут (2-1;-4+3;-5-2) = (1;-1;-7). Пусть координаты вектора a(x1;y1;z1) и вектора b(x2;y2;z2).


2. Вычислите длины каждого из векторов. Возведите каждую из координат векторов в квадрат, найдите их сумму x1²+y1²+z1². Из полученного результата извлеките квадратный корень. Проделайте ту же процедуру для второго вектора. Таким образом, получим модули векторов │a│ и │b│.


3. Вычислите скалярное произведение векторов. Для этого перемножьте соответствующие координаты векторов и сложите произведения: │a b│ = x1•x2 + y1•y2 + z1•z2.


4. Определите косинус угла между векторами, разделив полученное скалярное произведение в пункте 3 на произведение длин векторов, рассчитанных в пункте 2 (Cos(α) = │a b│ / (│a│•│b│)).


5. Вычислите синус угла между векторами, который будет равен квадратному корню из разности числа 1 и квадрата косинуса того же угла, рассчитанного в пункте 4 (sin(α) = √(1 - cos²(α))).


6. Рассчитайте площадь параллелограмма, построенного на векторах, умножив модули векторов, вычисленные в пункте 2, на число, полученное после расчетов в пункте 5.

Координаты векторов заданы на плоскости

Если координаты векторов заданы на плоскости, при вычислениях просто отбросьте координату z. Этот расчет является числовым выражением векторного произведения двух векторов.